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1、第 1 章 数制转换原理一、数制是什么？数制又称计数制，就是我们用来计数的规则。数制包含两个东西，一个是“计数符号” ，另一个是“进位规则” 。“计数符号”是我们用来表示数的基本符号，常见的计数符号有阿拉伯数字符号，中文数字符号，罗马数字符号等。举例，阿拉伯数字符号有“0123456789”共9个符号，中文数字符号有“零一二三四五六七八九十百千万亿兆” ，罗马数字符号有“I V X L C D M”。当 然 我 们 最 常 见 的 是 阿 拉 伯 数 字 符 号 。“进 位 规 则 ”就 是 我 们 在 数 数 的 过 程 中 以 多 少 量 为 一 个 进 位 ， 也 通 常 说 的 “逢
2、几进 一 ”， 我 们 日 常 最 长 用 的 是 “逢 十 进 一 ”， 这 就 是 “十 进 制 ”； 我 们 其 实 也 经 常 用 到其 他 的 进 制 ， 比 如 我 们 看 时 间 时 用 的 是 “逢 六 十 进 一 ”， 这 是 “六 十 进 制 ”； 我 们 买 啤酒 时 用 的 “几 打 ”就 是 “逢 十 二 进 一 ”， 这 是 “十 二 进 制 ”； 还 有 过 去 我 们 常 说 “半 斤八 两 ”， “斤 ”就 是 十 六 进 制 的 。 可 见 ， 其 他 的 进 制 在 我 们 的 日 常 生 活 中 也 是 随 处 可 见的 。将 “计 数 符 号 ”和 “
3、进 位 规 则 ”结 合 起 来 就 是 数 制 了 。 比 如 阿 拉 伯 数 字 的 用 法 就是 用 计 数 符 号 “1”表 示 数 量 一 ， 用 “2”表 示 数 量 二 ， 这 样 一 直 到 “9”。 “23”表 示“二 个 十 加 上 三 ”。二 、 十 进 制 阿 拉 伯 数 字 的 含 义我 们 平 时 用 的 类 似 于 “12”、 “233”、 “5432”这 样 的 数 字 用 的 多 了 ， 心 中 也 明 白到 底 这 些 数 字 表 示 多 少 的 量 ， “12”表 示 “1个 十 加 2”， “233”表 示 “2个 百 加 3个 十加 2”， “5432
4、”表 示 “5个 千 加 4个 百 加 3个 十 加 2”， 用 数 学 公 式 来 表 示 就 是(anan-1.a2a1a0)10=anX10n+an-1X10n-1+.+a2X102+a1X101+a0X100其 中 anan-1.a2a1a0表 示 的 是 数 字 符 号 ， ()10表 示 是 10进 制 数 ， 例 如 十 进 制数 6789(6789)10=6X103+7X102+8X101+9X100三、任意进制数字的表示套用十进制数字的表示方法，我们可以写出任意进制数字的表示方法。下面介绍其他常用的几种进制的表示方法。二进制：我们的“计数符号”通常取“01”共二个字符， “进
5、位规则”为“逢二进一” ，用数学公式来表示就是(anan-1.a2a1a0)2=anX2n+an-1X2n-1+.+a2X22+a1X21+a0X20例 如 ：(1011)2=1X23+0X22+1X21+1X20 （ 结 果 等 于 十 进 制 数 字 11）八进制：我们的“计数符号”通常取“01234567”共八个字符， “进位规则”为“逢八进一” ，用数学公式来表示就是(anan-1.a2a1a0)8=anX8n+an-1X8n-1+.+a2X82+a1X81+a0X80例 如 ：(7654)8=7X83+6X82+5X81+4X80 （ 结 果 等 于 十 进 制 数 字 4012）十
6、六进制：我们的“计数符号”通常取“0123456789ABCDEF”共十六个字符，“进位规则”为“逢十六进一” ，用数学公式来表示就是(anan-1.a2a1a0)16=anX16n+an-1X16n-1+.+a2X162+a1X161+a0X160例 如 ：(F2E9)16=FX163+2X162+EX161+9X160 （ 结 果 等 于 十 进 制 数 字62185）任意 R 进制：我们的计数符号取“b 0b1b2b3.bR-2bR-1”共 R 个字符，“进位规则” 为“ 逢 M 进一” ，用数学公式来表示就是(anan-1.a2a1a0)R=anXRn+an-1XRn-1+.+a2XR
7、2+a1XR1+a0XR0我 们 称 这 里 的 R 为 “基 数 ”， 就 是 多 少 进 制 的 意 思 。举 例 ， 我 们 可 以 设 计 一 个 4进 制 ， 即 基 数 R 为 4， 但 是 我 们 用 符 号 “e”来 表 示 数 量 四 ， 计 数 符 号 取 “abcd”共 4个 字 符 ， “进 位 规 则 ”为 “逢 四 进一 ”， 其 中 a 表 示 数 量 零 ， b 表 示 数 量 一 ， c 表 示 数 量 二 ， d 表 示 数 量 三 ，用 数 学 公 式 来 表 示 就 是 ：(anan-1.a2a1a0)e=anXen+an-bXen-b+.+acXec+
8、abXeb+aaXea那 么 数 (dbac)e=dXed+bXec+aXeb+cXea （ 结 果 等 于 十 进 制 数 210）这 么 取 “计 数 符 号 ”总 是 感 觉 不 习 惯 ， 我 们 取 通 常 的 计 数 符 号 “0123”，计 数 取 符 号 “4”就 习 惯 了 ， 以 上 的 4进 制 数 (dbac)e 改 为 (3102)4， 则 有(3102)4=3X43+1X42+0X41+2X40 （ 结 果 等 于 十 进 制 数 210）从 此 例 可 以 看 到 ， 计 数 符 号 是 为 了 表 示 数 量 的 ， 即 使 你 用 符 号 “0”来表 示 数
9、量 六 ， 用 符 号 “2”表 示 数 量 零 ， 也 是 可 以 的 。 用 来 表 示 基 数 的 符 号也 是 任 意 的 ， 只 要 你 定 义 它 表 示 的 数 量 就 可 以 了 。 当 然 这 与 我 们 的 习 惯 不 符 ，纯 粹 是 自 找 麻 烦 。 应 该 用 符 号 “0”表 示 数 量 零 ， 符 号 “2”表 示 数 量 二 ，这 样 大 家 也 都 容 易 理 解 。四 、 数 制 之 间 的 转 换我 们 先 来 看 十 进 制 向 任 意 进 制 的 转 换 。 为 了 容 易 理 解 ， 我 们 的 计 数 符 号取 阿 拉 伯 数 字 ， 如 果 超
10、 过 数 字 “9”的 话 用 “ABCDEFG.”来 表 示 ， 基数 就 直 接 用 10进 制 的 阿 拉 伯 数 字 表 示 ， 以 方 便 阅 读 。先 看 十 进 制 向 二 进 制 的 转 换 ， 我 们 先 观 察 前 面 提 到 的 二 进 制 数 表 示 的 数 学 公式(anan-1.a2a1a0)2=anX2n+an-1X2n-1+.+a2X22+a1X21+a0X20我 假 设 这 里 这 个 数 等 于 十 进 制 数 y， （ 比 如 说 y 为 123或 654等 等 ， 是 一 个 用10进 制 表 示 的 数 ） ， 那 么 有anX2n+an-1X2n-1
11、+.+a2X22+a1X21+a0X20 =(y)10现 在 我 们 对 这 个 等 式 两 边 同 时 不 断 除 以 二 ， 我 们 知 道 既 然 他 们 的 数 量 相 等 ，除 以 二 后 的 结 果 也 应 该 相 等 ， 只 不 过 左 边 是 用 二 进 制 表 示 的 ， 右 边 是 用 十 进制 表 示 的 罢 了 。左 边 二 进 制 数 不 断 地 除 以 二 取 出 余 数 右 边 十 进 制 数 不 断 地 除 以 二 取 出 余 数被 除 数 除数余 数 被 除 数 除数余 数anX2n+an-1X2n-1+.+a2X22+a1X21+a0X20 2 a0 y 2
12、 值 也 应 该 等 于二 进 制 数 a0anX2n-1+an-1X2n-2+.+a2X21+a1X202 a1 y 除 以 2的 商 2 值 也 应 该 等 于二 进 制 数 a1第 n-1次 除 法anX21+an-1X20 2 an-1 太 长 了 不 写 了 ， 反 正 是十 进 制 的 数 其 值 应 等 于二 进 制 数 anX21+an-1X202 an-1第 n 次 除 法anX20 2 an-1 太 长 了 不 写 了 ， 反 正 是十 进 制 的 数 其 值 应 等 于二 进 制 数 anX202 an有 看 过 十 进 制 转 二 进 制 的 书 的 同 学 会 发 现
13、 ， 右 边 的 表 格 就 是 用 “除 2取 余 法 ”求 二 进 制 数 的 过 程 ， 其 实 那 个 方 法 就 是 根 据 我 这 张 表 来 的 。 按 照 表 格 右 边 的除 法 过 程 ， 将 十 进 制 数 不 停 的 除 以 2取 余 数 ， 再 将 每 次 的 余 数 由 右 向 左 排 列成 anan-1.a2a1a0就 是 这 个 十 进 制 数 对 应 的 二 进 制 表 示 了 。同 样 的 ， 我 们 可 以 取 十 进 制 数 向 二 进 制 转 换 的 方 法 ， 结 合 公 式(anan-1.a2a1a0)R=anXRn+an-1XRn-1+.+a2X
14、R2+a1XR1+a0XR0我 们 可 以 知 道 将 十 进 制 数 向 任 意 的 基 数 为 R 的 进 制 的 数 转 换 的 方 法 就 是 将10进 制 数 不 停 的 “除 基 取 余 ”， 经 过 n 次 除 法 后 （ 0n 共 n+1个 数 需 n 次除 法 ） ， 然 后 将 余 数 由 右 向 左 排 列 就 得 到 了 对 应 的 R 进 制 数 (anan-1.a2a1a0)R。下 面 举 个 例 子 来 说 明（ 25） =?我 们 来 使 用 “除 基 取 余 法 ”求 的 十 进 制 数 23的 二 进 制 表 示 。步 骤 次 数 被 除 数 除 数 商 余
15、 数1 25 2 12 1 a02 12 2 6 0 a13 6 2 3 0 a24 3 2 1 1 a35 1 2 0 1 a4商 取 0， 故 除 法 完 毕 ， 此 时 将 余 数 由 右 向 左 排 列 得 11001所 以 ， （ 25） 10=1X24+1X23+0X22+0X21+1*20=(11001)25、 小 数 的 转 换 方 法小 数 的 转 换 只 是 在 整 数 转 换 的 基 础 上 略 有 改 变 ， 其 转 换 基 础 还 是 我 们 的通 用 数 学 公 式(anan-1a2a1a0)R=anXRn+an-1XRn-1+.+a2XR2+a1XR1+a0XR0
16、我 们 为 它 加 上 小 数 点 得(ana1a0.a-1a-2a-m)R=anXRn+a1XR1+a0XR0+a-1XR-1a-2XR-2a-mXR-m由 于 我 们 已 经 知 道 处 理 整 数 的 方 法 了 ， 所 以 我 们 将 整 数 部 分 分 离 出 去 ， 按 照前 面 提 到 的 “除 基 取 余 法 ”来 转 换 ， 将 小 数 另 行 单 独 处 理 。 其 小 数 部 分 为(.a-1a-2a-m)R=a-1XR-1+a-2XR-2+a-mXR-m在 此 ， 我 们 还 是 以 二 进 制 为 例 ， 来 探 索 出 小 数 部 分 转 换 的 方 法 。 将 基 数二 代 入 通 用 公 式 ， 我 们 可 以 得 到 二 进 制 小 数 的 数 学 公 式(.a-1a-2a-m)R=a-1X2-1+a-2X2-2+a-mX2-m仍 然 假 设 此
