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1、高中数学三角函数详解+公式 +精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要内容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个内容。其考查内容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。两倍角的正弦、余弦、正切。 、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及 的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。由于新教材
2、删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等内容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。 2 近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。每年有 2 3 道选择题或填空题，或 1 2 道选择、填空题和 1 道解答题。总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。 （ 1 ）关于三角函数的图象 立足于正弦余弦的图象，重点是函数 的图象与 y=sinx 的图象关系。根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。如 2000 年第（ 5
3、 ）题、 （ 17 ）题的第二问。 （ 2 ）求值题 这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。如 2002 年（ 15 ）题。 （ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题 （ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性） 。一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。如 2001 年（ 7 ）题。 （ 5 ）关于反三角函数， 2000 2002 年已连续三年不出现。 （ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合） 今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数
4、如果在解答题出现的话， 应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。 二、复习策略 1、 近几年的高考已经坚决抛弃对复杂三角变换及特殊技巧的考查，重点已转移到对基础和基本技能的考查上。所以复习中用好教材、打好基础犹为重要。 （ 1 ）一定要掌握好三角函数的图象，特别是 的图象的五点法作图及平移、伸缩作图。 （ 2 ）熟知三角函数的基本性质、切实掌握判定三角函数奇偶性、确定单调区间及求周期的方法。 （ 3 ）熟练掌握三角变换的基本公式，弄清公式的推导关系和互相联系，把基本公式记准用熟。*三角函数公式大全锐角三角函数公式sin = 的对边 / 斜边cos = 的邻边 / 斜边tan
5、= 的对边 / 的邻边cot = 的邻边 / 的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA2）（注：SinA2 是 sinA 的平方 sin2（A） ）三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中
6、sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B降幂公式sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2=2sina(1-sina)sina=3sina-4sinacos3a=cos(2a+a)=cos2
7、acosa-sin2asina=(2cosa)cosa=4cosa-3cosasin3a=3sina-4sina=4sina(3/4-sina)=4sina(3/2)a=4sina(sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cosa-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosacos=4cosa(cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos
8、(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+c
9、os(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)三角和sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)两角和差cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-
10、tan)/(1+tantan)和差化积sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinsin = cos(-)-cos(+) /2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+)
11、+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-)/2诱导公式sin(-) = -sincos(-) = costan (a)=-tansin(/2-) = coscos(/2-) = sinsin(/2+) = coscos(/2+) = -sinsin(-) = sincos(-) = -cossin(+) = -sincos(+) = -costanA= sinA/cosAtan（/2）cottan（/2）cottan（）tantan（）tan诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sin=2tan(/2）/1+tan(/2)cos=1-tan(/2)/1+tan(/
12、2)tan=2tan(/2)/1-tan(/2)其它公式(1)(sin)2+(cos)2=1(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)2,第二个除(cos)2 即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当 x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立由 tan
13、A+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）2+(cosB）2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）2=2+2cosAcosBcosC(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2
14、*(n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0*三角函数专题复习：（1）求函数 的初相 的问题（2）函数 的图象及应用（3）三角函数的最值问题（4）角的拆拼在求值中的应用教学目的通过对四个三角函数中的热点问题的专题研究，引导学生复习三角函数中的主要知识点和重点题型的解题方法，深层挖掘三角函数的内在联系，尽量使学生对三角函数知识的掌握融会贯通。教学重点、难点上述四个专题中涉及的核心思想知识分析（一）求函数 的初相 的问题在三角函数问题中，我们经常遇到求函数 的初相的问题，这一类问题是学习中的难点，又是高考中的热点，现在我们将相关题型进行归纳，帮助同学们复习相关知识：1、由图象求此类问题，解题的关键是从图象特征入手，寻找解题的突破口。例 1. 如图 1 所示函数 的图象，由图可知（ ）图 1A.
