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1、1二 利用双曲线的参数方程求最值今天我们研究利用双曲线的参数方程求最值.已知双曲线的标准方程，则可以将双曲线的方程改写成参数方程，于是双曲线上的点的坐标写成参数形式，把所求问题转化为三角函数问题.通过例题来看.例 1：已知 (,)Mxy在双曲线2sectanxy上，求 M到点 (3,0)N的距离的最小值.|MN有最小值为2458145.注意：1.中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：焦点在 x轴上的双曲线21(0,)xyab：sectanxyb（ 为参数）.焦点在 y轴上的双曲线2(,)： sec（ 为参数）.以上的 0,，且3,2.22. 称为双曲线的离心角，注意离心角
2、的几何意义.3.双曲线21xyab上任意点 M的坐标可设为 (sec,tan)b.4.注意：2222sinsectn1co.例 2：已知圆 O：22()xy上一点 P 与双曲线21xy上一点 Q，求 P， Q 两点距离的最小值.解：设双曲线上点的坐标为 (sec,tan)Q，先求圆心到双曲线上点的最小距离： 22sec(tan)OQ2 2tan14(tan1)3，当 t，即5或时， minOQ，min31PQ.3总结：1.如果双曲线方程是标准方程，利用三角恒等式 22sectan1，写出双曲线的参数方程. 2.注意中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有两种情况：双曲线21xyab上任意
3、点 M的坐标可设为 (sec,tan)b，双曲线2上任意点 的坐标可设为 (t,).3.将所求最值问题转化为求三角函数的值域，从而得出最值.练习题：1.求点 (0,1)P到双曲线 12yx最小距离.2.已知点 20A， ， B 为双曲线24xy上的动点，求 AB的最小值.3. 已知双曲线 C： 214xy， P 是 C 上的任意点.()求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；()设点 A 的坐标为(3，0)，求| PA|的最小值.练习题解析：41.求点 (0,1)P到双曲线 12yx最小距离.令2sin1cok，整理得 sin2cos2kk，所以 2i()1，所以 2|1，解得34k，所以6|PM.所以点 (0,1)到双曲线 12yx最小距离是62.2.已知点 20A， ， B 为双曲线24xy上的动点，求 AB的最小值.解：设双曲线上点的坐标为 (tan,sec)，22(tan)secB2484tan15ta8tn5，当tan5，即4ttrcrc或时，min3AB.53. 已知双曲线 C： 214xy， P 是 C 上的任意点.()求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；()设点 A 的坐标为(3，0)，求| PA|的最小值.
