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1、虚功原理和静定结构的位移计算,位移计算概述,一、概念,引起结构位移的原因,铁路工程技术规范规定:,二、 计算位移的目的,(1) 刚度要求,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1/700 和1/900跨度,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。,(2) 为超静定、动力和稳定计算做准备,功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力力作用点沿力方向上的位移,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功,变形体虚功原理,一、功、实功和虚功,力状态,位移状态,（虚力状态）,（虚位移状态
2、）,注意：（1）属同一体系；（2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关；,二、广义力、广义位移,一个力系作的总虚功 W=FP ,FP-广义力; -广义位移,例: 1)作虚功的力系为一个集中力,2)作虚功的力系为一个集中力偶,3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶,4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力,（1）质点系的虚位移原理,具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：,对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即,三、变形体的虚功原理,（2）刚体系的虚位移原理,去掉约束而代以相应的反力，
3、该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：,对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。,原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立,We =Wi,（3）变形体的虚功原理,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。,变形体虚功原理的证明:,1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功
4、 dW= dWe+dWn,所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We,2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW= dWg+dWi=dWi,所有微段的外力功之和: W=dWi =Wi,故有We=Wi成立。,注意几个问题:,1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。,2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。,3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问
5、题来求解。,4.变形体 虚功原理表达式：FP =FNds + FQ ds +M ds ,结构位移计算一般公式,即为结构位移计算的一般公式,虚设的力状态,荷载作用下结构位移计算,对上图直杆结构,具体到结构型式,例1 求下图所示悬臂梁结构B点的垂直位移，已知杆件的EI ,EA ,GA,例2 求下图所示桁架结构B点的水平位移，已知各根杆件的EA相同,4-4 结构位移计算的图乘法,4-4 结构位移计算的图乘法,简单回顾,本章计算位移的方法：虚单位荷载法, 虚力原理,荷载作用下，梁和刚架主要考虑弯曲变形,荷载作用下结构位移计算基本公式,？,问题: 积分运算太复杂，可否简化计算 ？,如果可以简化，需要满足
6、什么条件 ？,4-4 结构位移计算的图乘法,图乘法推导,图乘法公式,公式应用注意,杆段必须是等截面直杆,两个图形必须有一直线图形，且 y0 取自该直线图形,对折线图形须分段考虑，复杂图形可分解为简单图形。,正负号规则：两弯矩图在杆件同侧时乘积 Ay0 取正值。,4-4 结构位移计算的图乘法,常见图形的面积和形心位置,公式应用注意,杆段必须是等截面直杆,两个图形必须有一直线图形，且 y0 取自该直线图形,对折线图形须分段考虑，复杂图形可分解为简单图形。,正负号规则：两弯矩图在杆件同侧时乘积 Ay0 取正值。,4-4 结构位移计算的图乘法,1)求,公式应用举例,注意图形的选取问题。,4-4 结构位
7、移计算的图乘法,公式应用举例,2)求,注意由直线组成的折线问题。,4-4 结构位移计算的图乘法,公式应用举例,3)求,可将复杂图形分解成几个简单图形。,本次课小结,4-4 结构位移计算的图乘法,下次课内容,注意图形的选取问题。,由直线组成的折线要分段考虑。,可将复杂图形分解成几个简单图形。,曲杆结构的位移如何计算 ？,空间结构的位移如何计算 ？,静定结构支座移动时的位移计算,变形体虚功方程为:,We =Wi,其中:,计算公式为:,例1：求,解：构造虚设力状态,解：构造虚设力状态,静定结构温度变化时的位移计算,变形体虚功方程:,We =Wi,外力虚功 We =1 kP,在温度作用下,内力虚功,关
8、键是求出温度作用下产生的微段变形,设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温度 ，上、下边缘的温差 ,线膨胀系数为 .,微段的温度变形分析,无剪应变,若,温度引起的位移计算公式:,对等 截 面 直 杆:,上式中的正、负号：,若 和 使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。,例： 刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为 -10 ，内侧温度为 0 时A点的竖向位移 。已知 l=4 m, ,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m,解：构造虚拟状态,线弹性结构的互等定理,1. 功的互等定理:,方法一,由W1=W 2,先加广义力FP1后再加广义力FP2,先加广义力FP2后再加广义力FP1,W1=W 2,
9、在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功。,功的互等定理,线弹性结构的互等定理,方法二,由虚功原理,2. 位移互等定理:,单位广义力1引起，单位广义力2作用处沿广义力2方向的位移，恒等于单位广义力2引起，单位广义力1作用处沿广义力1方向的位移。-位移互等定理,单位广义力是量纲为一的量；,互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。,例如图示长 l ，EI 为常数的简支梁,数值、量纲都相等,3. 反力互等定理:,由功的互等定理有：,支座 1 发生单位广义位移所引起的支座2中的反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的支座1中的反力。-反力互等定理,4. 反力位移互等定理:,单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。-反力位移互等定理,
