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1、声明：此文档为本人作业，仅供参考，请勿抄袭，如有叙述不当，欢迎批评指正螺旋线之美由爱奥尼柱式上的卷涡想到的爱奥尼柱式是古希腊三大柱式（多立克式、爱奥尼式、科林斯式）之一，柱身高度与直径之比为 9:1 至 8:1，给人的视觉感受是典雅、秀美、修长，其柱身上刻有 24 条凹槽，柱础由三段曲线构成，富有弹性，柱头上有曲线形的吊带，柱头外廓下垂，形成两个卷涡。爱奥尼在希腊建筑中象征着柔美的女性。西方古典时期建筑以理性、严谨、比例和谐著称，当时很多建筑都依据一定的数学规律建造，数学与美学的关系也很受重视。其中，一直为现代人称道的黄金分割与黄金比例就是当时建造神庙立面的依据。古典时期人们认为美就是和谐，而
2、和谐来源于精确的数学比例，三大柱式都由精确的模数和尺度控制，成为一种固定的程式。虽然古希腊对柱式的数学比例有明确的规定，但爱奥尼柱式的两个卷涡却被后人演绎得千差万别，很少有人知道其确切规范。事实上，爱奥尼的卷涡可以近似地看作数学上的螺旋线。早在古希腊时期，数学家科农就发现了阿基米德螺旋线，而后其弟子阿基米德对这种螺旋线作了较深研究。阿基米德螺旋线的极坐标公式为 r = a，又称等距螺旋线，其含义为螺旋线的每两条相邻臂之间距离相等，为 2 a。该螺旋线过原点。然而，从图中看出，爱奥尼柱式的螺旋线并不过中心，因此，修改其方程为 r = a+b，这样，螺旋线的起点为（0 ，b） ，与原点有一定距离。
3、观察此螺旋线的方程，可以看出其与笛卡尔坐标系中直线方程形似，因此可以近似将其理解为极坐标系中的简单图形。而极坐标中圆的方程为r=a，近似于笛卡尔坐标中与 x轴平行的直线，可以将两个图形放在一起讨论。对于任意一个 ，只要 不变，r 就不变，而对于越来越大的 r 来说，r 则越来越可以忽略，因此可以推断其切线应越来越逼近圆的切线，换句话说， 值越大，图形越向外扩张，其轮廓越圆。且 r=a，a 越小，图形越趋近于圆。验证：将极坐标公式转化为笛卡尔坐标，x=acos,y=asin,求导得 y=(cos-sin)/(sin+cos),而圆的切线斜率为 g=-sin/cos.由此看出当 足够大，y近似等于
4、 g。然而有爱奥尼柱头的图片可以看出，爱奥尼柱头卷涡并不是等距螺线，而是臂间距离由内而外逐渐变大的螺线。那么，可否用方程表示这一过程呢？事实上，受到中学物理加速度公式的启发，我们将阿基米德螺线稍作修改：r = （ a+a）+b,其中 a代表径向加速度，这个式子表示，每转过一个特定角度，径向的速度都发生改变，且改变量均为 a。右图为螺旋线 r = （1+0.1） +5 的图像。该图像已经较接近爱奥尼柱式的螺线，然而美中不足的是爱奥尼柱式的螺线在中心没有端点，也就是说，没有起点。那么，有什么螺旋线可以解决这个问题呢？查资料知，另一种螺旋线对数螺旋线，也叫等角螺旋线，它的两端都没有尽头，也就是说，向
5、外无限趋向于无穷，向内无限趋向于原点。这种螺旋线是由笛卡尔发现，其极坐标方程为 r=ae(cot),这种螺旋线的性质为：在同一个方向上每两条相邻臂间的间距成等比数列排列，也就是说，r( +2 )/r()=e （2cot） 。对于同一个，不论 大小为多少，r 总是增长一个特定的倍数。图一图二这种螺旋线的性质为：曲线上每一点的切线都与这一点和原点的连线成一个固定夹角 。而且，可以将 e 随意变换为其他数值 t，且 tcot 越大，曲线越开敞。而将 加减某个数值，新曲线会与旧曲线的另一段重合。因此，曲线的形状取决于 tcot.如图一是曲线r=1.15 的图像，由图可以看出虽然曲线没有经过原点，但是有过原点的趋势，而爱奥尼的卷涡则是在离原点有一定距离时就不再向内延伸。为模仿这一效果，我们将极半径 r 加上一个定值，这样这个定值就成了 趋于 0 时 r 的极限。图二是螺线 r=1.15+0.3 的图像，这一图像基本符合爱奥尼卷涡的图形了。
