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1、- 1 -2017-2018 学年第一学期第二次调考高三年级数学（理科）试题分值：150 分 时间：120 分钟一、选择题（本题共 12 小题,每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有1 项是符合题意的。 ）1. 已知集合 ，则A. B. C. D. 2. “ ”是“直线 ： 与直线 ： 垂直”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，且 ，则下列命题中的假命题是A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 相交，则 相交 D. 若 相交，则 相交4. 等差数列 中的 、 是函数 的两
2、个极值点，则A. 6log42B. 4 C. 3log42D. 3log25. 已知扇形 OAB 的面积为 1，周长为 4，则弦 AB 的长度为A. 2 B. C. D. 6. 已知角 且 ，则 的值为A. 31-B. C. 31D. 2317. 函数 的零点所在的大致区间是A. B. C. D. - 2 -8. 若函数 的导函数是 ，则A. 1 B. 2 C. D. 9. 将函数 的图象向右平移 个单位 后，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小值为A. B. C. D. 10. 已知函数 的部分图象如图所示，则 分别为A. B. B. C. D. 11. 函数 是定义在 内的可导函数，且满足
3、： ，对于任意的正实数 ，若 ，则必有A. B. C. D. 12. 函数 有两个零点，则 a 的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分）13.若 满足约束条件 ，则函数 的最大值是 14.在 中， 边上的高等于 ，则 COSA= 15.已知 是正数，且 ，则 的最小值是 16.已知圆 ，直线 l： ，若圆 上恰有 4 个点到直线 l 的距- 3 -离都等于 1，则 b 的取值范围为 三、解答题(本大题共 6 个小题，满分 70 分，17-21 题,每题 12 分,22 题和 23 题各 10 分,其中解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知：
4、 的三个内角 的对边分别为 ，且满足 求角 B 的大小； 若 的面积为 ，求 b 边的长18.为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”比赛成绩共有 90 分，70分，60 分，40 分，30 分五种，按本次比赛成绩共分五个等级从参加比赛的学生中随机抽取了 30 名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表： 成绩等级 A B C D E成绩 分 90 70 60 40 30人数 名 4 6 10 7 3 根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ A 或 B”的概率； 根据 的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小
5、学生 参赛人数很多 中任选 3人，记 X 表示抽到成绩等级为“ A 或 B”的学生人数，求 X 的分布列及其数学期望 E（ X） ；19.如图所示，在直四棱柱 中，底面 ABCD 是矩形，是侧棱 的中点(1) 求证： 平面 AED；(2) 求二面角 的大小20.如图，已知椭圆 C： 的离心率是 ，一个顶点是 求椭圆 C 的方程；设 是椭圆 C 上异于点 B 的任意两点，且 试问：直线 PQ 是否恒过一定点？若 是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由21.已知函数 - 4 -若函数 的图象在 处的切线的斜率为 ，求 的极值；当 时， 的图象恒在 x 轴下方，求实数 a 的取值范围请在 22 题和
6、 23 题中任选一题作答,如果多做,则按所选的第一题给分.22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 为参数 ，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； 若点 P 的直角坐标为 ，曲线 C 与直线 l 交于 两点，求 的值23.已知函数 当 时，求不等式 的解集；若 的解集包含 ，求实数 a 的取值范围- 5 -高三二调理科数学答案1、选择题：1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.A 7.C 8.D 9.B 10.A 11.D 12.D二、选择题：13. 6 14. 15.
7、 16 16. 三、简答题：17.解：（）由已知得 cos2B+cosB=0，可得 2cos2B+cosB-1=0，即（2cosB-1）（cosB+1）=0，解得 cosB= 或 cosB=-1因为 0B，故舍去 cosB=-1，所以，B= （）由 sinA=3sinC 利用正弦定理可得 a=3c，而ABC 的面积为 acsinB= ，将 a=3c 和 B= 代入上式，得出 c=1，且a=3，再由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB，解得 b= 18.解：（I）根据统计数据可知，从本地区参加“数独比赛”的 30 名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或 B”的概率为 = ，即从本地区
8、参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为 （II）由题意知随机变量 X 可取 0，1，2，3，P（X=0）=C （ ）0（ ）3= ；P（X=1）=C （ ）1（ ）2= ；P（X=2）=C （ ）2（ ）= ；P（X=3）=C （ ）3（ ）0= ；所以 X 的分布列为（必须写出分布列，否则扣 1 分）X 0 1 2 3P故 E=0 +1 +2 +3 =1，所求期望值为 119. （1）证明：在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是矩形， 以 D1 为原点，D1A1 为 x 轴，D1C1 为 y 轴，D1D 为 z 轴， - 6 -建立如
9、图所示空间直角坐标系 AB=1，BC= ，AA1=2，E 是侧棱 BB1 的中点， D（0，0，2），A（ ，0，2），E（ ，1，1）， ，C1（0，1，0）， =（ ，0，0）， =（0，1，-1）， =（0，1，1）， =0， ， A1EDA，A1EAE， A1E平面 AED （2）解：设 是平面 A1DE 的一个法向量， ， =（- ，0，2）， ， 取 x=1，得 =（ ，-1，1）， 平面 AA1D，平面 AA1D 的一个法向量为 =（0，1，0）， cos = =- ， 结合图形，可判别得二面角 A-A1D-E 是锐角，它的大小为 20.（）解：设椭圆 C 的半焦距为 c依题意，
10、得 b=1，（1 分） 且 ，（3 分） 解得 a2=4（4 分） 所以，椭圆 C 的方程是 （5 分） （）证法一：易知，直线 PQ 的斜率存在，设其方程为 y=kx+m（6 分） 将直线 PQ 的方程代入 x2+4y2=4， 消去 y，整理得 （1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0（8 分） 设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则 ， （9 分） 因为 BPBQ，且直线 BP，BQ 的斜率均存在， 所以 ，整理得 x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0（10 分） 因为 y1=kx1+m，y2=kx2+m， 所以 y1+y2=k（x1+x2）+2m， 将代入，整理得 将代入
11、，整理得 5m2-2m-3=0 - 7 -解得 ，或 m=1（舍去） 所以，直线 PQ 恒过定点 （12 分） 证法二：直线 BP，BQ 的斜率均存在，设直线 BP 的方程为 y=kx+1（6 分） 将直线 BP 的方程代入 x2+4y2=4，消去 y，得 （1+4k2）x2+8kx=0（8 分） 解得 x=0，或 （9 分） 设 P（x1，y1），所以 ， ， 所以 （10 分） 以 替换点 P 坐标中的 k，可得 从而，直线 PQ 的方程是 依题意，若直线 PQ 过定点，则定点必定在 y 轴上 在上述方程中，令 x=0，解得 所以，直线 PQ 恒过定点 （12 分）21.解：（）f（x）=
12、 +alnx-（2x+a）=alnx-2x+ ，x0， f（e）=a-2e+ = -2e， a=0， f（x）=2lnx-x2+ f（x）= -2x= =- ， 令 f（x）0，解得 0x1，函数 f（x）递增， 令 f（x）0，解得 x1，函数 f（x）递减， f（x）极大值=f（1）=0，无极小值， （2）由（1）可知 f（x）=alnx-2x+ ，x0， 令 g（x）=alnx-2x+ ， g（x）= -2- = （a-2x- ）， 当 x1 时，x+ 2，有 a-2x- a-4， 若 a-40，即 a4 时，g（x）0，故 g（x）在区间（1，+）上单调递减， 则当 x1 时，g（x）
13、g（1）=0，即 f（x）0，故 f（x）在区间（1，+）上单调递减， - 8 -故当 x1 时，f（x）f（1）=0， 故当 a4，x1 时，f（x）的图象恒在 x 轴的下方， 若 a-40，即 a4 时，令 g（x）0，可得 1x ， 故 g（x）在区间（0， ）上单调递减， 故当 1x 时，g（x）g（1）=0， 故 f（x）在区间（1， ）上单调递增， 故当 1x 时，f（x）f（1）=0， 故当 a4，x1 时，函数 f（x）的图象不可恒在 x 轴下方， 综上可知，a 的取值范围是（-，422.解：（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数， 可得直线 l 的普通方程为：
14、x+y- =0 （2 分） 曲线 C 的极坐标方程为 =6cos，即 2=6cos，化为直角坐标方程为x2+y2=6x， 即圆 C 的直角坐标方程为：（x-3）2+y2=9（5 分） （）把直线的参数方程代入圆 C 的方程，化简得：t2+2t-5=0（8 分） 所以，t1+t2=-2，t1t2=-50 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|= = （10 分）23.解：（1）当 a=-4 时，求不等式 f（x）6，即|x-4|+|x-2|6， 而|x-4|+|x-2|表示数轴上的 x 对应点到 4、2 对应点的距离之和， 而 0 和 6 对应点到 4、2 对应点的距离之和正好等于 6，故|x-4|+|x-2|6 的解集为x|x0，或 x6 （2）原命题等价于 f（x）|x-3|在0，1上恒成立，即|x+a|+2-x3-x 在0，1上恒成立， 即-1x+a1，即-1-xa1-x 在0，1上恒成立，即-1a0
