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1、高中数学抛物线练习题一、选择题：1. (浙江) 函数 yax 21 的图象与直线 yx 相切，则 a( )(A) (B) (C) (D)1842. （上海）过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，xy2则这样的直线（ ）A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在3. 抛物线 上一点 的纵坐标为 4，则点 与抛物线焦点的距离为( )24xyAA(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 54. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为 .若它的一条准线与抛物线 的准线重合，则3xy42该双曲线与抛物线 的交点到原点的距离是 （ ）x2A2
2、+ B C D213612185 .（江苏卷）抛物线 y=4 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( )2( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 0176576. （湖北卷）双曲线 离心率为 2，有一个焦点与抛物线 的焦点重合，则 mn0(12mnyx xy42的值为 （ ）A B C D1638331638二、填空题：7顶点在原点，焦点在 x 轴上且通径长为 6 的抛物线方程是 .8若抛物线 的焦点在 x 轴上，则 m 的值是 .my29过（1，2）作直线与抛物线 只有一个公共点，则该直线的斜率为 .y4210抛物线 为一组斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程是 .
3、2xy三、解答题：11. （江西卷）如图，M 是抛物线上 y2=x 上的一点，动弦 ME、MF 分别交 x 轴于A、B 两点，且 MA=MB. （1）若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值；（2）若 M 为动点，且EMF=90，求EMF 的重心 G 的轨迹xyO A BEFM12. （上海）本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 6 分.已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M.
4、(1)求抛物线方程 ;(2)过 M 作 MNFA, 垂足为 N,求点 N 的坐标;(3)以 M 为圆心 ,MB 为半径作圆 M.当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,丫讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.当 m0)2则直线 MF 的斜率为 k，方程为 200().ykxy由 ，消 解得2002()yx201x得 2001(1),FFkykyx (定值) 所以直线 EF 的斜率为定值02200014()()2EFFkykk yx（2） 直线 ME 的方程为90,5,1,MABoo当 时 所 以 200()ykxy由 得 同理可得202yxy200(1),Ey200(),(1).F设重心 G（x
5、, y） ，则有222200001333()()MEFyyx消去参数 得0212().973x4. 解(1) 抛物线 y2=2px 的准线为 x=- ,于是 4+ =5, p=2. 抛物线方程为 y2=4x.p2(2)点 A 是坐标是 (4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2),xyOAB 又F(1,0), k FA= ;MNFA, k MN=- ,3443则 FA 的方程为 y= (x-1),MN 的方程为 y-2=- x,解方程组得 x= ,y= , N 的坐标( , ).584584(1) 由题意得, ,圆 M.的圆心是点 (0,2), 半径为 2,当 m=4 时, 直线 AK
6、的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离.当 m4 时, 直线 AK 的方程为 y= (x-m),即为 4x-(4-m)y-4m=0,m4圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d= ,令 d2,解得 m1当 m1 时, AK 与圆 M 相离;2)(168当 m=1 时, AK 与圆 M 相切; 当 m1 时, AK 与圆 M 相交.8. 解：（） 两点到抛物线的准线的距离相等，FlAB、抛物线的准线是 轴的平行线， ，依题意 不同时为 0x120y， 12y，上述条件等价于 211120yxxx上述条件等价于 即当且仅当 时， 经过抛物线的焦点 。20x12lF（）设 在 轴上的截
7、距为 ，依题意得 的方程为 ；过点 的直线方程可写为lyblyxbAB、，所以 满足方程 得12xm12x、 20xm124x为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 ，即AB、 84f13mf13.解：（I）设AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1）321yxOAOB ,即 ，(2)1OBAk21yx又点 A，B 在抛物线上，有 ，代入（2）化简得2,y 12x 3)3(1)(3)(3 22212121 xxxy所以重心为 G 的轨迹方程为 y（II） 21212221)(|21 yxyxyxOBASAOB 由（I）得 )(6621621 x当且仅当 即 时，等号成立。 所以AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值 1；621x21
