高中数学-函数的单调性和奇偶性教案

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1、 知 人 尚 学 学 以 致 用做 教 育 的 知 心 朋 友个性化辅导学教案辅导对象 年级 教 材 授课老师 学科 授课时间教学目标教学重点教学难点教学内容及教法学法 调整反思（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数 )(xfy的定义域为 A，区间 I，如果对于区间 I内的任意两个值 1x，2x，当 21时，都有 )(21xff，那么就说 )(xfy在区间 上是单调增函数， I称为 )(xfy的单调增区间；如果对于区间 I内的任意两个值 1x， 2，当21x时，都有 )(21f，那么就说 )(xfy在区间 上是单调减函数，I称为 )(f的单调减区间。如果用导数的语言来，那就是：设函数 f，

2、如果在某区间 I上 0)(xf，那么 为区间 I上的增函数；如果在某区间 I上 0)(f，那么 为区间I上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）定义法（取值作差变形定号）；导数法（在区间 内，若(,)ab总有 ，则 为增函数；反之，若 在区间 内为增函数，则 ，()0fx()fx()fx(,)ab0fx（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意, 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(byax)，减区间为 . (,0)(ba（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若 )(xf与 g在定义域内都是增函数（减函数） ，那么 )(xgf在

3、其公共定义域内是增函数（减函数） 知 人 尚 学 学 以 致 用做 教 育 的 知 心 朋 友函数的单调性3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的 1x， 2有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(211xx；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y分别在 )0,(和 ),(内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即,)0,(U内是单调递减的，只能说函数 xy1的单调递减区间为 )0,(和。4、函数的最大（小）值设函数 )(xfy的定义

4、域为 A， 如果存在定值 A0，使得对于任意 Ax，有)(0f恒成立，那么称 )(0xf为 )(xfy的最大值；如果存在定值 0，使得对于任意 x，有 恒成立，那么称 )(0xf为 )(xfy的最小值。（二）考点分析考点 1 函数的单调性题型 1：讨论函数的单调性（同增异减）例 1 （1）求函数 的单调区间；20.7log(3)yx例 2. 判断函数 f(x)= 12在定义域上的单调性.题型 2：研究抽象函数的单调性例 1已知函数 的定义域是 的一切实数，对定义域内的任意 都有()fx0x12,x，且当 时 ，212()fx1(),(2)1ff（1）求证： 是偶函数；（2） 在 上是增函数；（

5、3）解不等式()fxx,2(fx解：（1）令 ，得 ， ，令 ，得12x(1)2ff(1)0f12x，()0f 知 人 尚 学 学 以 致 用做 教 育 的 知 心 朋 友 ， 是偶函数()1)()(fxfffx()fx（2）设 ，则2022111()()(xfxfff 221111)()(xxffff ， ， ，即 ，21021x21()fx021()0ff21()ffx 在 上是增函数()fx,)（3） ， ，2Q(4)2()ff 是偶函数不等式 可化为 ，()fx1x2(|1|)(4fxf又函数在 上是增函数， ，解得： ，0,)2|4012x即不等式的解集为 10(,)2题型 3：函数

6、的单调性的应用例 1若函数 在区间（，4 上是减函数，那么实数 的取)()(2xaxf a值范围是_(答： ）)；3例 2已知函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围_（答：1()2fx,a） ；1(,)考点 2 函数的值域（最值）的求法求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。 （2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。 （3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得） 。 （4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条

7、件的几何意义，在图上找其变化范围。题型 1：求分式函数的最值 知 人 尚 学 学 以 致 用做 教 育 的 知 心 朋 友例 1 （2007 上海）已知函数 xaf2)( ).,1当 21a时，求函数)(xf的最小值。函数的奇偶性（一）知识梳理1、函数的奇偶性的定义：对 于 函 数 )(xf的 定 义 域 内 任 意 一 个 x， 都 有)(xff 或 0)(ff ，则称 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。对 于 函 数 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x， 都 有 )(xff 或0)(xff ，则称 )(xf为偶函数. 偶函数的图象关于 y轴对称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.

8、 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2.函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断 ()fxf（2）利用定义的等价形式, ， （ ）0f(1)xf()0f（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称y3函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（2）若奇函数 定义域中含有 0，则必有 .故 是 为()fx(0)f()0f()fx奇函数的既不充分也不必要条件。（3）定义在关于原点对称区间上的任意一

9、个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差） ”。如设 是定义域为 R 的任一函数， )(xf， 。()2fxF()2fGx（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.（5）设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：()fg12,D奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇（二）考点分析考点 1 判断函数的奇偶性及其应用题型 1：判断有解析式的函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性： 知 人 尚 学 学 以 致 用做 教 育 的 知 心 朋 友（1） f（ x）=| x+1| x1|；（2） f（ x）=（ x1） x；（3） |1)(f；（4）

10、 ).0()(,)f题型 2：证明抽象函数的奇偶性例 1 .(09 年山东)定义在区间 )1,(上的函数 f (x)满足：对任意的 )1,(,yx，都有 )(xyfyfx. 求证 f (x)为奇函数；解析令 x = y = 0，则 f (0) + f (0) = )0(1(ff f (0) = 0令 x(1, 1) x(1, 1) f (x) + f (x) = f ( 21x) = f (0) = 0 f (x) =f (x) f (x) 在(1，1)上为奇函数例 2 （1）函数 ， ，若对于任意实数 ，都有 ，)xRba, )()(bfabf求证： 为奇函数。)(f（2）设函数 定义在 上

11、，证明 是偶函数，)(xf),(l)(xf是奇函数。)(fx考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用例 1已知奇函数 )(xf是定义在 )2,(上的减函数，若 0)12()(mff ，求实数 m的取值范围。解析 Qf是定义在 ,上奇函数 对任意 x,有 fxf由条件 0)12()(得 (1)(1)fmf= ()fxf是定义在 ,上减函数 22，解得 123实数 m的取值范围是 3例 2设函数 对于任意的 ，都有 ，且 时)(xf Ryx, )()(yfxyf0x,0)(xf21（1）求证 是奇函数；)(f（2）试问当 时， 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，3x)(xf说出理由。 知 人

12、尚 学 学 以 致 用做 教 育 的 知 心 朋 友例 3设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增， f(2a2+a+1)3a22 a+1.解之，得 0a3.又 a23 a+1=(a 3)2 5.函数 y=( 1) 1的单调减区间是 3,)结合 0a3,得函数 y=( 23) 1a的单调递减区间为 23，3).函数的周期性（一）知识梳理1函数的周期性的定义：对于函数 )(xf，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x值，都满足 )(Txf，那么函数 )(f就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期。2周期性的性质（1）若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期

13、()yfx,()xab()yfx函数，且一周期为 ；2|Tab（2）若 图像有两个对称中心 ，则 是f ,0,ABaf周期函数，且一周期为 ；|（3）如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴()yfx(,)，则函数 必是周期函数，且一周期为 ；()xba 4|Tb（4）若 f(x+a)=f(x+b) 则 T=|b-a|；函数 满足 ，则fxxaf是周期为 2 的周期函数；()f若 恒成立，则 ；若1()(0)fxaf2Ta恒成立，则 .()()ff 知 人 尚 学 学 以 致 用做 教 育 的 知 心 朋 友（二）考点分析考点 2 函数的周期性例 1设函数 是定义域 上的奇函数，对任意实数

14、 有)(xfRx成立23)(ff（1）证明： 是周期函数，并指出周期；)(xfy（2）若 ，求 的值)(f )3(f考点 2 函数奇偶性、周期性的综合应用例 1 .（09 年江苏题改编）定义在 R上的偶函数 ()fx满足 (2)(1ffx对于xR恒成立，且 ()0fx，则 (19)f _ 。解析由 ()f得到 2f，从而得 )(4(ff，可见)(xf是以 4 为周期的函数，从而 )34()(f，又由已知等式得13f又由 ()x是 R上的偶函数得 )1(f又在已知等式中令 1x得f，即 1)(f所以 9例 2已知函数 的定义域为 ，且满足xR)()2(fxf（1）求证： 是周期函数；)(f（2）若 为奇函数，且当 时， ，求使 在xf 10xxf21)(xf21)(上的所有 的个数。09,课后作业老师对学生 学生对老师课堂