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1、数理方程期与特殊函数期末考试题 第 1 页（共 9 页）北京交通大学硕士研究生 2010-2011 学年第一学期数学物理方程期末试题（A 卷）（参考答案）学院 专业 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分分值 10 15 15 20 15 15 10 100得分阅卷人1、 （10 分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 2211xuxuEhht其中 是圆锥体的杨氏模量， 是质量密度， 是圆锥的高（如下图所示）：E【提示：已知振动过程中，在 处受力大小为 ， 为 处截面面积。 】xuESx【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是 和 ，如图所示。于是，我们有1r2222111
2、2(,)(,)(,) ()dtan(d)uxutuxtErrxh上式化简后可写成数理方程期与特殊函数期末考试题 第 2 页（共 9 页）22 2d(,)(,)(,)(|(|()dx xututuxtEhxhh从而有 22(,)(,)()ttxx或成 222(,)(,)(1(1)ututaxhxh其中 ，证明完毕。2Ea2、 （20 分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边 处于较高温度 ，其它三边ybU， 和 则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 。试求该截面上的0yxa 0u稳定温度分布 ，即求解以下定解问题：(,)uy2200,;|,.xxayybuybUxa【提示：可以令 ，然后再用分离
3、变量方法求解。 】0(,)(,)uxvx【解】令 ，则原定解问题变为0(,),yy2200,;|,.xxayybvybvUuxa分离变量：数理方程期与特殊函数期末考试题 第 3 页（共 9 页）(,)()vxyXYy代入方程得到关于 和 的常微分方程以及关于 的定解条件：XY0,()();aY可以判定，特征值 2(1,3)naL特征函数 ()si(,2)nnXxCx利用特征值 可以求得n() (1,3)nnaayynYyAeBL于是求得特征解 (,)si(,2)nnaayynvxx形式解为 11(,)(,)()sinnaayynyvxyAeBx由边界条件，有得到 00(2)4()1bnbnaa
4、ABnkeUu 解得 0(2)4()1bnbnaan kuABe最后得到原定解问题的解是1 0(,0)()sin,bnbaanvxxeu 数理方程期与特殊函数期末考试题 第 4 页（共 9 页）001(21)sh4() (21)(,) sinkkyUukauxy xba3、 （20 分）试用行波法求解下列二维半无界问题 2(,) 0,;, .uftxtttt【解】方程两端对 求积分，得x 100d(,)d()xxyufyh也即 0(,)()xfyy对 求积分，得y00d(,)d()yyxufygxhy也即 0(,)(,)()yxuxf由初始条件得 (,)(0)(ghx0uyy也即 ()(0)g
5、xh再取 ，于是又有0x()()从而得 (0)()0gh于是 ()xxg数理方程期与特殊函数期末考试题 第 5 页（共 9 页）()(0)()0hygyh将这里的 和 代入 的表达式中，即得()gx,ux00,(,)d() 0()(0)(,)()yxyxufyyxgyhfyy4、 （20 分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题： 220,0()ttuaxt，【提示：可利用逆 Fourier 积分变换公式： 】11,|sin20xatatF【解】对变元 作 Fourier 变换，令x(,)(,)()()ixiixUtuyedFu则有 2200, (), ()t tUUat方程的通解是
6、12(,)(cos()sintCatat由初始条件得 12(), ()可得 121(), ()()Ca方程的解数理方程期与特殊函数期末考试题 第 6 页（共 9 页）1(,)(cos()sinUtatat从而 111(,)(,) cos()sin ()uxtFtaFatt查表可得 1 1, |, sin()2200xattxatatFfxohersohers从而 111si sin1()()()()2xatt tFfxddaa 注意到 1 1si()cos()() )2xatdtFtxatt 最后得到原问题的解 11sin(,)()cos() (22xatuxtFtFxad即 11(,)()(
7、)()xatuxtxtxt这就是 dAlembert 公式。5、 （20 分）对于平面上的调和函数 (,)uxy1）试证明 Dirichlet 边值问题解的唯一性，即：方程 只有零解； .0,u2）用 Green 函数法，试求解边值界为 的上半平面调和函数的 Poisson 表达式。(,)gxy数理方程期与特殊函数期末考试题 第 7 页（共 9 页）6、 （20 分）半径为 的球形区域内部没有电荷，球面上的电位为 ， 为常数，0r 20cosu0求球形区域内部的电位分布。即求解以下定解问题（球坐标形式）： 02 0211()(sin),icosrurr【解答】由于球面上边界条件中不含有变量 ，
8、故只考虑轴对称解，可以用分离变量法求解该问题。为此令 (,)()urR代入方程，得 22()()0ddrctgr改写成 2 2dRdddrr t令 ，可将上面两个方程改写成(1),cos,nxP22()01(1)dRrrPxnx上面第二个方程是一个勒让德方程，其通解为 。而第一个方程是一个欧拉方程，它的通解是 )1(21)(nnxnrCrR再根据 的有界性，应有 ，从而R20Cnxnr)(于是，原问题的解是 0)(),(nPCru边界条件为 02cosr或写成 02rux数理方程期与特殊函数期末考试题 第 8 页（共 9 页）即有 200()nuxCrPx根据已有的结果 2201()3),(1
9、Pxx或 22 0(cos)(s),(cos)P从而 201()3xx于是有 0200()()nuPCrP比较两端 的系数，可知()nPx002,(,2)3nuCr从而 200202(,)(cos)(cos)313()cos1)urPPrur7、 （10 分）用 Ritz-Galerkin 方法求下列问题的近似解： 20,().uxyxy其中区域 ， 为常数。22(,)|xyR0u【提示：取近似解为 】1()uAxy【解】取基函数组 ，求 的近似解，只取 ，则220R(,)u1N。210()uAxy数理方程期与特殊函数期末考试题 第 9 页（共 9 页）泛函 21112222002222003()()d ()d 4)1 d()d4RJufuxyAARxyxyuxrrAu 3240 ()A令 1d()0JuA有 40(2)R可得 0uA最后得到定解问题的近似解为 2201(,)()4uxtRxy
