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1、 11、行列式行列式共有 个元素，展开后有n2n项，可分解为 行列式；!代数余子式的性质：、 和 的大小无关；ijAija、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；A代数余子式和余子式的关系： (1)(1)ij ijiji ijiMM 设 行列式 ：nD将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；1(1)21n将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行90o列式为 ，则 ；2D(1)22nD将 主对角线翻转后（转置） ，所得行列式为 ，则 ；33将 主副角线翻转后，所得行列式为，则 ；4D4行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角
2、元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；(1)2n、上、下三角行列式（ ）： 主对角元素的乘积；、 和 ：副对角元素的乘积 ；(1)2n、拉普拉斯展开式：、AOCABB(1)mng、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；对于 阶行列式 ，恒有：nA，其中1()nknES为 阶主子式；kS证明 的方法：0A、 ；、反证法；、构造齐次方程组 ，证明其0Ax有非零解；、利用秩，证明 ；()rn、证明 0 是其特征值；2、矩阵1. 是 阶可逆矩阵：An（是非奇异矩阵） ；（是满秩矩阵）()r的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 有非零解；0Ax， 总有唯一解；nbRb与 等价；E可表
3、示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为 0；A是正定矩阵；T的行（列）向量组是 的一组nR基；是 中某两组基的过渡矩阵；nR对于 阶矩阵 ： A*AE无条件恒成立； 1*111*()()()TTA *11()()()TABABB矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均 、可逆：B若 ，则：12sAO、 ；12sAL、 ；121sAO、 ；（主对11AB角分块）、 ；（副对11OAO角分块）、 ；（11CCBOB拉普拉斯）、 ；（111AOCCAB拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个 矩阵 ，总可经过初等mn变换化为标准形，其标
4、准形是唯一确定的： ；rmnEOF等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵 、 ，若；r:行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若 ，则 可(,)(,)rAEX:A 2逆，且 ；1XA、对矩阵 做初等行变化，当(,)B变为 时， 就变成 ，即：AE1；1(,),)c、求解线形方程组：对于 个未知n数 个方程 ，如果 ，nAxb(,),rbEx:则 可逆，且 ；1初等矩阵和对角矩阵的概念：、初
5、等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、 ，左乘矩阵12nO， 乘 的各行元素；右乘， 乘Aii的各列元素； 、对调两行或两列，符号 ，(,)Eij且 ，例如：1(,)(,)Eijij；1、倍乘某行或某列，符号 ，()Eik且 ，例如：1()()Eiki；(0)11k、倍加某行或某列，符号 ,()Eij且 ，如：1()()Eijkijk；1(0)矩阵秩的基本性质：、 ；0()min(,)rA、 ；T、若 ，则 ；B:()r、若 、 可逆，则PQ；（可()()()rAPA逆矩阵不影响矩阵的秩）、 ma(),(,)()rBrrB；（）、 ；（）()()A、 ；
6、（）in,rr、如果 是 矩阵， 是 矩mBns阵，且 ，则：（）0B、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论） ；AX、 ()rn、若 、 均为 阶方阵，则B；()()r三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如 的矩阵：利用二项01acb展开式；二项展开式： 01 10() nnnmnnmnabCabCababCab LL；注：、 展开后有 项；()n1、 0(1)(1)!123()Lgm nnnmnCC、组合的性质： 1 11 0 2 nmnmmrnrrnn nCC；、利用特征值和相似对角化：伴随矩阵：、伴随
7、矩阵的秩：；*()()110nrAnrA、伴随矩阵的特征值： *1*(, )AXX；、 、*1A1*n关于 矩阵秩的描述：、 ， 中有 阶子式不为()rn0， 阶子式全部为 0；（两句话）1、 ， 中有 阶子式全部为()rA0；、 ， 中有 阶子式不为()rn0；线性方程组： ，其中 为Axb矩阵，则：m、 与方程的个数相同，即方程组有 个方程；xb、 与方程组得未知数个数相同，n方程组 为 元方程；A线性方程组 的求解：、对增广矩阵 进行初等行变换B（只能使用初等行变换） ；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；由 个未知数 个方程的方程组构成元线性方程：、 ；1211
8、2222nmnmxxaabL、 211122nmmmaaxbAxLMOM 3（向量方程， 为 矩阵， 个方Amn程， 个未知数）n、 （全部1212nxaaLM按列分块，其中 ） ；12nb、 （线性表12axaxL出）、有解的充要条件：（ 为未知数的个数(),)rAn或维数）4、向量组的线性相关性1. 个 维列向量所组成的向量组m： 构成 矩阵A12,mLn；()个 维行向量所组成的向量组 ：nB构成 矩阵 ；12,TTmLn12TTmM含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次线性0Ax方程组）、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）b、向量组的
9、相互线性表示是否有解；（矩阵方程）AXB矩阵 与 行向量组等价的充分mnl必要条件是：齐次方程组 和0Ax同解；( 例 14)0Bx10P；( 例 15)TrAr维向量线性相关的几何意义：n、 线性相关 ；0、 线性相关 坐标成,比例或共线（平行） ；、 线性相关 共面；,线性相关与无关的两套定理：若 线性相关，则12,sL必线性相关；1s若 线性无关，则12,必线性无关；（向量的个1sL数加加减减，二者为对偶）若 维向量组 的每个向量上添上rA个分量，构成 维向量组 ：nnB若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；B（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，
10、反之，不确定；向量组 （个数为 ）能由向量组Ar（个数为 ）线性表示，且 线性sA无关，则 (二版 定理 7)；r4P向量组 能由向量组 线性表示，则B；（ 定理 3）()rA86向量组 能由向量组 线性表示有解；X（ 定理(),)rAB85P2）向量组 能由向量组 等价（ 定理 2 推()(,)rAr85论）方阵 可逆 存在有限个初等矩阵，使 ；12,lPL12lPL、矩阵行等价：（左乘， 可逆）rAB与 同解0x、矩阵列等价：（右乘， 可逆） ；cQ、矩阵等价： （ABPQ、 可逆） ；P对于矩阵 与 ：mnAlB、若 与 行等价，则 与 的行A秩相等；、若 与 行等价，则 与0x同解，且
11、 与 的任何对应的0Bx列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵 的行秩等于列秩；A若 ，则：msnBC、 的列向量组能由 的列向量组线性表示， 为系数矩阵；、 的行向量组能由 的行向量组B线性表示， 为系数矩阵；（转置）TA齐次方程组 的解一定是0x的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、 只有零解 只有B0Bx零解；、 有非零解 一0xA定存在非零解；设向量组 可由向量组12:,nrrBbL线性表示为：12:,nssa（ 题 19 结论）0（1212(,)(,)rsbaKLL）BAK其中 为 ，且 线性无关，sA则 组线性无关 ；（ 与()rB的列向量组
12、具有相同线性相关性）（必要性： ()(,),()rBrAKrrKQ；充分性：反证法）注：当 时， 为方阵，可当s作定理使用；、对矩阵 ，存在 ，mnnmQ、 的列向AE()rA量线性无关；（ ）87P、对矩阵 ，存在 ，mnnm、 的行向量线nPAE()r 4性无关；线性相关12,sL存在一组不全为 0 的数 ，12,skL使得 成立；12sk（定义）有非零解，即1212(,)0sxLM有非零解；0Ax，系数矩阵的秩12(,)sr小于未知数的个数；设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐mnrn次线性方程组 的解集 的秩为：0xS；()rSr若 为 的一个解，*Ab为 的一个基础解系，12,nrL0x则
13、 线性无关；*,（ 题 33 结论）1P5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵 或TAE（定义） ，性质：1、 的列向量都是单位向量，且两两正交，即；(,12,)0Tij ijanL、若 为正交矩阵，则 也ATA为正交阵，且 ；、若 、 正交阵，则 也是正B交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；施密特正交化： 12(,)raL；1ba122,bgL;1211,rrrr rbababgLg对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；、 与 等价 经过初等变换ABA得到 ；， 、 可逆；PQ， 、 同型；()r、 与 合同 ，其TCB中可逆；与 有xAx相同的正、负惯性指数；、 与 相似 ；AB1P相似一定合同、合同未必相似；若 为正交矩阵，则CTCB， （合同、相似的约束条件不同，:相似的更严格） ；为对称阵，则 为二次型矩阵；AA元二次型 为正定：nTx的正惯性指数为 ；n与 合同，即存在可逆矩阵 ，EC使 ；TC的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于0；(必要条件 )0,ia
