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1、 11、行列式行列式共有 个元素,展开后有n2n项,可分解为 行列式;!代数余子式的性质:、 和 的大小无关;ijAija、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为 0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为 ;A代数余子式和余子式的关系: (1)(1)ij ijiji ijiMM 设 行列式 :nD将 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为 ,则 ;1(1)21n将 顺时针或逆时针旋转 ,所得行90o列式为 ,则 ;2D(1)22nD将 主对角线翻转后(转置) ,所得行列式为 ,则 ;33将 主副角线翻转后,所得行列式为,则 ;4D4行列式的重要公式:、主对角行列式:主对角
2、元素的乘积;、副对角行列式:副对角元素的乘积 ;(1)2n、上、下三角行列式( ): 主对角元素的乘积;、 和 :副对角元素的乘积 ;(1)2n、拉普拉斯展开式:、AOCABB(1)mng、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;、特征值;对于 阶行列式 ,恒有:nA,其中1()nknES为 阶主子式;kS证明 的方法:0A、 ;、反证法;、构造齐次方程组 ,证明其0Ax有非零解;、利用秩,证明 ;()rn、证明 0 是其特征值;2、矩阵1. 是 阶可逆矩阵:An(是非奇异矩阵) ;(是满秩矩阵)()r的行(列)向量组线性无关;齐次方程组 有非零解;0Ax, 总有唯一解;nbRb与 等价;E可表
3、示成若干个初等矩阵的乘积;的特征值全不为 0;A是正定矩阵;T的行(列)向量组是 的一组nR基;是 中某两组基的过渡矩阵;nR对于 阶矩阵 : A*AE无条件恒成立; 1*111*()()()TTA *11()()()TABABB矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;关于分块矩阵的重要结论,其中均 、可逆:B若 ,则:12sAO、 ;12sAL、 ;121sAO、 ;(主对11AB角分块)、 ;(副对11OAO角分块)、 ;(11CCBOB拉普拉斯)、 ;(111AOCCAB拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个 矩阵 ,总可经过初等mn变换化为标准形,其标
4、准形是唯一确定的: ;rmnEOF等价类:所有与 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵 、 ,若;r:行最简形矩阵:、只能通过初等行变换获得;、每行首个非 0 元素必须为 1;、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0;初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)、若 ,则 可(,)(,)rAEX:A 2逆,且 ;1XA、对矩阵 做初等行变化,当(,)B变为 时, 就变成 ,即:AE1;1(,),)c、求解线形方程组:对于 个未知n数 个方程 ,如果 ,nAxb(,),rbEx:则 可逆,且 ;1初等矩阵和对角矩阵的概念:、初
5、等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、 ,左乘矩阵12nO, 乘 的各行元素;右乘, 乘Aii的各列元素; 、对调两行或两列,符号 ,(,)Eij且 ,例如:1(,)(,)Eijij;1、倍乘某行或某列,符号 ,()Eik且 ,例如:1()()Eiki;(0)11k、倍加某行或某列,符号 ,()Eij且 ,如:1()()Eijkijk;1(0)矩阵秩的基本性质:、 ;0()min(,)rA、 ;T、若 ,则 ;B:()r、若 、 可逆,则PQ;(可()()()rAPA逆矩阵不影响矩阵的秩)、 ma(),(,)()rBrrB;()、 ;()()()A、 ;
6、()in,rr、如果 是 矩阵, 是 矩mBns阵,且 ,则:()0B、 的列向量全部是齐次方程组 解(转置运算后的结论) ;AX、 ()rn、若 、 均为 阶方阵,则B;()()r三种特殊矩阵的方幂:、秩为 1 的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量) 行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;、型如 的矩阵:利用二项01acb展开式;二项展开式: 01 10() nnnmnnmnabCabCababCab LL;注:、 展开后有 项;()n1、 0(1)(1)!123()Lgm nnnmnCC、组合的性质: 1 11 0 2 nmnmmrnrrnn nCC;、利用特征值和相似对角化:伴随矩阵:、伴随
7、矩阵的秩:;*()()110nrAnrA、伴随矩阵的特征值: *1*(, )AXX;、 、*1A1*n关于 矩阵秩的描述:、 , 中有 阶子式不为()rn0, 阶子式全部为 0;(两句话)1、 , 中有 阶子式全部为()rA0;、 , 中有 阶子式不为()rn0;线性方程组: ,其中 为Axb矩阵,则:m、 与方程的个数相同,即方程组有 个方程;xb、 与方程组得未知数个数相同,n方程组 为 元方程;A线性方程组 的求解:、对增广矩阵 进行初等行变换B(只能使用初等行变换) ;、齐次解为对应齐次方程组的解;、特解:自由变量赋初值后求得;由 个未知数 个方程的方程组构成元线性方程:、 ;1211
8、2222nmnmxxaabL、 211122nmmmaaxbAxLMOM 3(向量方程, 为 矩阵, 个方Amn程, 个未知数)n、 (全部1212nxaaLM按列分块,其中 ) ;12nb、 (线性表12axaxL出)、有解的充要条件:( 为未知数的个数(),)rAn或维数)4、向量组的线性相关性1. 个 维列向量所组成的向量组m: 构成 矩阵A12,mLn;()个 维行向量所组成的向量组 :nB构成 矩阵 ;12,TTmLn12TTmM含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;、向量组的线性相关、无关有、无非零解;(齐次线性0Ax方程组)、向量的线性表出是否有解;(线性方程组)b、向量组的
9、相互线性表示是否有解;(矩阵方程)AXB矩阵 与 行向量组等价的充分mnl必要条件是:齐次方程组 和0Ax同解;( 例 14)0Bx10P;( 例 15)TrAr维向量线性相关的几何意义:n、 线性相关 ;0、 线性相关 坐标成,比例或共线(平行) ;、 线性相关 共面;,线性相关与无关的两套定理:若 线性相关,则12,sL必线性相关;1s若 线性无关,则12,必线性无关;(向量的个1sL数加加减减,二者为对偶)若 维向量组 的每个向量上添上rA个分量,构成 维向量组 :nnB若 线性无关,则 也线性无关;反之若 线性相关,则 也线性相关;B(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关,
10、反之,不确定;向量组 (个数为 )能由向量组Ar(个数为 )线性表示,且 线性sA无关,则 (二版 定理 7);r4P向量组 能由向量组 线性表示,则B;( 定理 3)()rA86向量组 能由向量组 线性表示有解;X( 定理(),)rAB85P2)向量组 能由向量组 等价( 定理 2 推()(,)rAr85论)方阵 可逆 存在有限个初等矩阵,使 ;12,lPL12lPL、矩阵行等价:(左乘, 可逆)rAB与 同解0x、矩阵列等价:(右乘, 可逆) ;cQ、矩阵等价: (ABPQ、 可逆) ;P对于矩阵 与 :mnAlB、若 与 行等价,则 与 的行A秩相等;、若 与 行等价,则 与0x同解,且
11、 与 的任何对应的0Bx列向量组具有相同的线性相关性;、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;、矩阵 的行秩等于列秩;A若 ,则:msnBC、 的列向量组能由 的列向量组线性表示, 为系数矩阵;、 的行向量组能由 的行向量组B线性表示, 为系数矩阵;(转置)TA齐次方程组 的解一定是0x的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;、 只有零解 只有B0Bx零解;、 有非零解 一0xA定存在非零解;设向量组 可由向量组12:,nrrBbL线性表示为:12:,nssa( 题 19 结论)0(1212(,)(,)rsbaKLL)BAK其中 为 ,且 线性无关,sA则 组线性无关 ;( 与()rB的列向量组
12、具有相同线性相关性)(必要性: ()(,),()rBrAKrrKQ;充分性:反证法)注:当 时, 为方阵,可当s作定理使用;、对矩阵 ,存在 ,mnnmQ、 的列向AE()rA量线性无关;( )87P、对矩阵 ,存在 ,mnnm、 的行向量线nPAE()r 4性无关;线性相关12,sL存在一组不全为 0 的数 ,12,skL使得 成立;12sk(定义)有非零解,即1212(,)0sxLM有非零解;0Ax,系数矩阵的秩12(,)sr小于未知数的个数;设 的矩阵 的秩为 ,则 元齐mnrn次线性方程组 的解集 的秩为:0xS;()rSr若 为 的一个解,*Ab为 的一个基础解系,12,nrL0x则
13、 线性无关;*,( 题 33 结论)1P5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵 或TAE(定义) ,性质:1、 的列向量都是单位向量,且两两正交,即;(,12,)0Tij ijanL、若 为正交矩阵,则 也ATA为正交阵,且 ;、若 、 正交阵,则 也是正B交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;施密特正交化: 12(,)raL;1ba122,bgL;1211,rrrr rbababgLg对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;、 与 等价 经过初等变换ABA得到 ;, 、 可逆;PQ, 、 同型;()r、 与 合同 ,其TCB中可逆;与 有xAx相同的正、负惯性指数;、 与 相似 ;AB1P相似一定合同、合同未必相似;若 为正交矩阵,则CTCB, (合同、相似的约束条件不同,:相似的更严格) ;为对称阵,则 为二次型矩阵;AA元二次型 为正定:nTx的正惯性指数为 ;n与 合同,即存在可逆矩阵 ,EC使 ;TC的所有特征值均为正数;A的各阶顺序主子式均大于0;(必要条件 )0,ia