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1、关于行列式的计算方法总结行列式是线性代数中一个非常重要的内容，根据行列式形式的不同，计算的方法也多种多样。行列式的计算灵活多样，通常是利用行列式的定义、行列式的性质、对角线法则等取计算行列式。本文通过多方资料对历年考研题中的行列式的解决方法进行了分类归纳和以及总结。一、 利用基本性质计算1.（1999 数二（ 5）题）记行列式 为 ，则方34753421xx)(f程 的根的个数为 （ ）0)(xf.1A.2)(B.)(C.)(D求解： 34753421)( xxxf 374210xx612673412102xxx )1(5)(552 x故 有两个根，故应选 .0)1(5)xf B原行列式中各元
2、素的特点， （均是 的一次多项式，且除 ， 外，其余x3a4的系数均有规律。 ）利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别。2.（1996 数一（ 2）题）四阶行列式 的值等于 4432110abba（ ）.)(43214321baA .)(43214321bB)(C )(1aaD求解：原式 324132414321321 00 ababbaab 。)(1432a故选 。D考虑到行列式的零比较多，可根据行列式展开定理按第一行展开计算。3.（1998 西安电子科大）计算行列式 。xa求解： xa00202x22)(0)2( axax4 （1999 西安电子科大）计算 阶行列式1n n
3、n aaDLL011102其中， ， 。0iai,21L求解：第一列提取 ，第 列提取 ，得i ),21(niaL101102121LL nnn aaD再将第 列都加到第 列，然后按第 列展开得1,32nL。ninaD121二、利用矩阵运算1.（2003 数一（ 6）题）设三阶方阵 ， 满足 ，其中 是三ABEBA2阶单位矩阵，若 ，则 。201A_求解：方法一：由题设条件 EBA2,)(.显然, , 是可逆阵，上式两边左乘 ,得0231EAEA1)(EA.B)(从而有 1102BAE先由矩阵方程求出 ，再计算行列式 或者将已知等式变形成含有因子 的B矩阵乘积的形式，而其余因子的行列式都可以求
4、出即可。方法二：由 得 ，等式两端取行列式且利用矩阵EBA2EAB)(乘积的行列式=行列式的乘积，得,约去 ,得 .0EA21EAB2.（200 数 4 一（6）题）设矩阵 ,矩阵 满足 ，10BEBA*2其中 为 的伴随矩阵， 是单位矩阵，则 .*AE_先化简矩阵方程成乘积形式，再两边取行列式。求解：由题设条件 得BA*2，*2BAE两边取行列式，得 ，1*E其中 ， ，3102A9213*，102EA故 。912*EAB3.（2005 数一（ 6）题）设 ， ， 均为维列向量，记矩阵123， 。),(321A )93,4,( 32121 B如果 ，那么 。_利用行列式的性质将 转化为 计算
5、，或将 的每个列向量用 的列向量现ABA行表示。求解：方法一：利用行列式性质 321321321 9,4, B832321,321321 ,因 ，故 。,321AB方法二：因 ， ，1,321321 421,42313，9,9321321故 ACB 94132,93,42, 3213211321 两边取行列式，得.CAB因 ，故 .1A29413方法一是基本方法，方法二比较灵活，当二组向量（这里是 和 的列向量）AB有表出关系时，表示成方法二中的 的矩阵形式是方便的，行列式 的CBC计算，可直接由范德蒙德行列式得到 .2)1(3)2(4.（2006 数一（ 6）题）设矩阵 ， 为 2 阶单位矩
6、阵，矩阵 满足1AEB，则 。EBA2_化简方程成乘积形式，再两边取行列式。求解：由题设条件 得， ，即 .2EBA2EA2)(两边取行列式，得 .EB)(其中,21012A.4E故 .2AB5.（2010 数二（ 14）题）设 ， 为三阶矩阵，且 ， ，32B，则 .21BA_1A求解： )(1111 AEAEB111 )()( BABA326.（1995 数一（ 9）题）设 是 阶矩阵，满足 （ 是 阶单位阵，nETn是 的转置矩阵） ， ，求 .TA0AE求解：方法一：根据 ，有ET TTTAEAA)(,)(于是 .0)1(E因为 ，故 .A方法二：因为 ,EAAETTT )(即有 ,也
7、即 .0)1(因为 ，故 .AE已知矩阵等式 求抽象矩阵 的行列式，自然想到要利用此等式EAT条件，一种方法是将 直接代入要计算的行列式中；一种是“凑”出可利用已经矩阵等式左端的形式 ，再将 代入计算。TT7.（1999 数一（ 2）题）设 是 矩阵， 是 矩阵，则 nmBmn（ ）当 时，必有行列式)(Anm0A当 时，必有行列式B当 时，必有行列式)(CB当 时，必有行列式Dmn0A 求解：因为 为 阶方阵，且ABm秩 。),min()(,in)(BrABr当 时，由上式可知， ，即 不是满秩的，故有行列式n，因此正确选项为 。0AB)(四个答案在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是
8、矩阵是否可逆的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，最终只要判断 是否满秩即可。AB8.（2000 西安电子科大）设 为 阶矩阵， ， ， ， 是线性无关的 维向量组，满足n12Lnn， ，求 的行列式 的值。),2(1iAi L1nAA求解：因为 )()( 121121 nn L)32n所以 1321 nALn1)(又由于 ， ， ， 线性无关，从而 ，故 。12Ln 02nL1)(nA三、升阶、降阶法1.（2004 北航）计算下面行列式的值 nnaaLL2121求解：升阶化三角形。nnn aaaaDLLL21210各行减去第一行 n0121LL。nnni
9、aaO2120 )1(21niaL2.（2003 华南师大）证明行列式等式 nijijnnnnAxaxa121221121LL其中 ， 是 在 中的代数余子式。ijaAijijij求解：升阶法。左边 nnnnnnn aaxxxaxaxx LMLLMML212112212211210（按第一行展开） LLnnnn aaa221212111,1,2211)1( nnnnaxLM（从第二项开始均按第一列展开） nnnaaL21212ni ini AxxA1121L=右边nijijnnxaa12122LM除了升阶之外，我们还有方法二：左边 xaxaxaxa nnnnnn LL22112212112 n
10、nnn aaaLMLM2211212111,21,2112nnaaxLi inni AxxAD111=右边。nijij13.（1991 数四）求 阶行列式nabbab0000LL求解：利用降阶法按第一列展开 abaDn0LM banLML00)1(nn1)(一道题目可以有不同的方法来解答，另外还有一种方法就是直接用定义。由行列式的定义知此行列式除项 和 外其余乘积项都是零，naL21 1,231naL故 nnn ybaD)3()12( )(L四、范德蒙德行列式1.（2002 北交大）计算 阶行列式：nnnnnxxxxLL212211求解：作如下行列式使之配成范德蒙行列式： nijjniinnn
11、nn xxyxxxxyp 1121112221 )()(1)(LL此处 是变数，由此可知 是 的元素 的代数余子式。ynD)(yp1n。 ij nj yxxxp1 12)()( L另一方面，将 按它的第 列展开即得y1。 nij nnnj yDyx1 1)()()(比较 中关于 的系数即得：)(ypn。nijjxxD121 )()(L五、化三角形法1.（2001 西安电子科大）计算 阶行列式n xaacxaacbbyDnLL求解：将第 行乘以 分别加到第 行，得n)1(1,32nxaacxxaabbyDnLLL0再将第 列， ，第 列都加到第 列，得21nnanxaacxabnbbyDn )2
12、(00)1(LLLL按第一列展开， anxaaxyDn )2(00LL001)1( axxbbcn Lnnn bcaxay )1()1)(2()( 22 cxyn)2.（2004 华东理工）计算行列式的值 ，其中 都不为 。naaLL011102 na,21L0求解：方法一：化三角形 10111221LMLLnnn aaaD njn aaa12121 00LMMLL。njnia11)(方法二：化三角形 njninnin aaaD11211 )(OL3.（2000 北工大）设 1312 43210463102)( nnxCnxXf LMML计算 。)(1(xff求解：，1)(130312021)
13、( 132 13LLMMLnnnxCnxxf1)(130312021)( 1312 1LLMMLnnnxCnxxff将上面行列式第一列乘 ，第二列乘 ，第三列乘 ， 第 列乘x2全部加到最后一列，得1nx nnnxCnxff )1(1003210)( 312 LMMLx)!(4.（1997 数四）设 阶矩阵 ，求 。n011011LLAA求解： 01101LA011-n0-11nLL从 第 二 列 开 始各 列 加 到 第 一 列 0110)(Ln10010)( Ln)(1n5.（2000 西安电子科大）计算 阶行列式n 1123241LLLxnDn 求解：从 的第 列开始，每行乘以 往上一行
14、加，得nD2)(11001110xxxDn LLL101)1( xxn LL1001)(1 xxn LL21)(nx通常化三角形发都是先观察各行各列的规律，如果某一行（列）的数值都是其余各行通过一定的运算得到，那么可以通过此方法将其化成零以得到只剩三角的行列式，求一个行列式如果能够化成三角形式是最好不过，可以非常直观地得出所求行列式的值。六、代数余子式1 （2003 北工大）设 阶行列式nnnDnLKL01321求第一行各元素的代数余子式之和 。A12求解：构造行列式，将 中第一行的元素均换成 ，则Ann 1121112 LLn13211OM nin132001OM。)(!1i改变 后 的值不变，构造一个行列式，使所要求的代数余子式在量行列ijaijA式中相同，通过新行列式计算所
