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1、1北京市朝阳区 2015 届高三数学上学期期中统一考试试题 理（含解析）新人教 A 版一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分1已知集合 A=x|x2+x20，B=x|x0，则集合 AB 等于（）A x|x2 B x|0x1 C x|x1 Dx|2x1解答： 解：集合 A=x|x2+x20=x|2x1，B=x|x0，集合 AB=x|x2故选：A点评： 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用2已知命题 p：x0，x+ 4；命题 q：x 0R，2 x0=1则下列判断正确的是（）A p 是假命题 B q 是真命题 C p（q）是真命题 D （p）
2、q是真命题解答： 解：对于命题 p：x0，x+ 2 =4，命题 p 为真命题；对于命题 q：对xR，2 x0，命题 q 为假命题，q 为真命题，故只有选项 C 为真命题故选：C点评： 本题综合考查了复合命题的真假，简单命题的真假判断等知识，属于中档题，解题的关键是：准确理解两个命题的真值情况3执行如图所示的程序框图，则输出的 k 的值是（）A 120 B 105 C 15 D 5考点： 循环结构专题： 算法和程序框图分析： 据题意，模拟程序框图的运行过程，得出程序框图输出的 k 值是什么2解答： 解：第一次循环得到：k=1，i=3；第二次循环得到：k=3，i=5；第三次循环得到：k=15，i=
3、7；满足判断框中的条件，退出循环k=15故选 C点评： 本题考查了求程序框图的运行结果的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出结论，是基础题4曲线 y= 与直线 x=1，x=e 2及 x 轴所围成的图形的面积是（）A e 2 B e21 C e D 2分析： 确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论解答： 解：由题意，由曲线 y= 与直线 x=1，x=e 2及 x 轴所围成的图形的面积是 S= =2故选：D点评： 本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积5设 ， 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（）若 =0，则
4、有| + |=| |；| |=| | |；若存在实数 ，使得 = ，则| + |=| |+| |；若| + |=| | |，则存在实数 ，使得 = A B C D 分析： 当 =0 时，判断| + |=| |成立；利用数量积判断| |=| | |不一定成立；当 = 时，判断| + |=| |+| |不一定成立；当| + |=| | |时，得出 、 共线，即可判断正误解答： 解：对于，当 =0 时，| + |= = =| |，正确；对于， =| | |cos ， ，| |=| | |不一定成立，错误；对于，当 = 时，则| + |=| + |=| |+1|，| |+| |=| |+| |=| |
5、（|+1） ，| + |=| |+| |不一定成立，错误；对于，当| + |=| | |时， +2 + = 2| | |+ ， =| | |， 共线，即存在实数 ，使得 = ，正确综上，正确的是故选：B点评： 本题考查了平面向量的应用问题，解题时应熟练地掌握平面向量的有关概念，是基础题6某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房当每套房月租金定为 3000 元时，这 70 套公寓能全租出去；当月租金每增加 50 元时（设月租金均为 50 元的整数倍） ，就会多一套房3子不能出租设租出的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用） 要使公司获得最大利润，
6、每套房月租金应定为（）A 3000 B 3300 C 3500 D 4000考点： 函数最值的应用专题： 计算题；应用题；函数的性质及应用分析： 由题意，设利润为 y 元，租金定为 3000+50x 元， （0x70，xN） ，则y=（3000+50x） （70x）100（70x） ，利用基本不等式求最值时的 x 的值即可解答： 解：由题意，设利润为 y 元，租金定为 3000+50x 元， （0x70，xN）则 y=（3000+50x） （70x）100（70x）=（2900+50x） （70x）=50（58+x） （70x）50（ ） 2，当且仅当 58+x=70x，即 x=6 时，等号成
7、立，故每月租金定为 3000+300=3300（元） ，故选 B点评： 本题考查了学生由实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题7如图，某地一天中 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin（x+）+b（其中 0， ） ，则估计中午 12 时的温度近似为（）A 30 B 27 C 25 D 24考点： 由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题： 三角函数的图像与性质分析： 由函数的图象的顶点坐标求出 A 和 b，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式，从而其求得 x=12 时的值解答： 解：由函数的图象可得 b=20，A=3020=1
8、0，根据 =106，可得 = 再根据五点法作图可得， 6+= ，求得 = ，y=10sin（ x+ ）+20令 x=12，可得 y=10sin（ + ）+20=10sin +20 10 +2027，故选：B点评： 本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，属于基础题8设函数 f（x） ，g（x）满足下列条件：（1）对任意实数 x1，x 2都有 f（x 1）f（x 2）+g（x 1）g（x 2）=g（x 1x 2） ；4（2）f（1）=1，f（0）=0，f（1）=1下列四个命题：g（0）=1；g（2）=1；f 2（x）+g 2（x）=1；当 n2，nN *时，f（x） n+g（
9、x） n的最大值为 1其中所有正确命题的序号是（）A B C D 考点： 命题的真假判断与应用专题： 函数的性质及应用分析： 既然对任意实数 x1，x 2都有 f（x 1）f（x 2）+g（x 1）g（x 2）=g（x 1x 2） ，那么分别令 x1，x 2取 1，0，1求出 g（0） ，g（1） ，g（1） ，g（2） ，然后令 x1=x2=x 可得，再根据不等式即可得解答： 解；对于结论是正确的对任意实数 x1，x 2都有 f（x 1）f（x 2）+g（x 1）g（x 2）=g（x 1x 2）且 f（1）=1，f（0）=0，f（1）=1，令 x1=x2=1，得f（1） 2+g（1） 2=g
10、（0） ，1+g（1） 2=g（0） ，g（0）1=g（1）2令 x1=1，x 2=0，得 f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1） ，g（1）g（0）=g（1） ，g（1）g（0）1=0解方程组 得对于结论是不正确的，令 x1=0，x 2=1，得 f（0）f（1）+g（0）g（1）=g（1） ，g（1）=0令 x1=1，x 2=1，得 f（1）f（1）+g（1）g（1）=g（2） ，1=g（2） ，g（2）1对于结论是正确的，令 x1=x2=1，得 f2（x）+g 2（x）=g（0）=1，对于结论是正确的，由可知 f2（x）1，1f（x）1，1g（x）1|f n（x）|f 2（x） ，|
11、g n（x）|g 2（x）对 n2，nN *时恒成立，f（x） n+g（x） nf 2（x）+g 2（x）=1综上，是正确的故选：D点评： 本题考查赋值法求抽象函数的性质属于中档题二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上.9已知平面向量 ， 满足| |=1， =（1，1） ，且 ，则向量 的坐标是或 考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示专题： 平面向量及应用分析： 设 =（x，y） 由于平面向量 ， 满足| |=1， =（1，1） ，且 ，可得=1，xy=0解出即可5解答： 解：设 =（x，y） 平面向量 ， 满足| |=1， =（1，1） ，且 ，
12、=1，xy=0解得 = 或 故答案为： 或 点评： 本题考查了向量模的计算公式、向量共线定理，属于基础题10已知 tan（ +）= ，（ ，） ，则 tan 的值是 ；cos 的值是 考点： 两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义专题： 三角函数的求值分析： 利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得 tan 与 cos的值解答： 解：tan（ +）= ，tan=tan（ +） = = = ；又 （ ，） ，cos= = 故答案为： ； 点评： 本题考查两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，属于中档题11若 f（x）= ，是奇函数，则 a+b 的值是1考点： 函数
13、奇偶性的性质分析： 不妨设 x0，则x0，根据所给的函数解析式，利用 f（x）=f（x） ，由此可得 a、b 的值，即可得到 a+b6解答： 解：函数 f（x）= ，是奇函数，任意 x0，则x0，由 f（x）=f（x） ，则2x+3=axb，则 a=2，b=3则 a+b=1，故答案为：1点评： 本题主要考查分段函数求函数的奇偶性，运用函数的奇偶性的定义是解题的关键，属于基础题12已知等差数列a n中，S n为其前 n 项和若 a1+a3+a5+a7=4，S 8=16，则公差 d=2；数列a n的前 3项和最大考点： 等差数列的前 n 项和专题： 等差数列与等比数列分析： 由题意可得 a2+a4
14、+a6+a8=4+4d，可得 S8=4+（4+4d）=16，解之可得 d=2，进而可得 a1=5，可得 an=72n，解不等式可得等差数列a n的前 3 项为正数，从第 4 项起为负数，故数列a n的前 3 项和最大解答： 解：a 1+a3+a5+a7=4，a 2+a4+a6+a8=4+4d，S 8=4+（4+4d）=16，解得 d=2，a 1+a3+a5+a7=4a1+12d=4，解得 a1=5，等差数列a n的通项公式 an=52（n1）=72n，令 an=72n0 可得 n ，等差数列a n的前 3 项为正数，从第 4 项起为负数，数列a n的前 3 项和最大故答案为：2；3点评： 本题考查等差数列的前 n 项和公式，属基础题13已知 x，y 满足条件 若目标函数 z=ax+y（其中 a0）仅在点（2，0）处取得最大值，则 a 的取值范围是（ ，+）考点： 简单线性规划的应用专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出 a 的取值范围7解答： 解：作出不等式对应的平面区域，由 z=ax+y 得 y=ax+z，a0，此时目标函数的斜率
