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1、- 34 -高考数学应用题的解法2007 年全国数学考试大纲（课标版）中，能力要求中指出，能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识，其中对实践能力的界定是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.实践能力是将客观事物数学化的能力.主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决.2007 年山东数
2、学考试说明对实践能力的界定是：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题，并能用数学语言正确地表述、说明对实践能力的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学教学的实际，考虑学生的年龄特点和实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平.数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题. 由于这类题目文字叙述长，数学背景陌生，涉及面又广，对相当一部分学生来讲，连题目都不“敢”去看了，心理失衡，导致在阅读和理解方面存在着一
3、定困难.解答这类问题的要害是消除心理和语言障碍，深刻理解题意,做好文字语言向数学的符号语言的翻译转化, 自信，冷静地去读完题目，保持冷静，认真对待，不能随意放弃.读题是翻译的基础，读题时要抓住题目中的关键字、词、句，弄清题中的已知事项，初步了解题目中讲的是什么事情，要求的结果是什么。在读题的基础上，要能复述题目中的要点，深思题意，很多情况下，可将应用题翻译成图表形式，形象鲜明地表现出题中各数量之间的关系，将文字语言、符号语言、图表语言转化成数学语言，这个过程其实就是建模。函数,数列,不等式，排列组合、概率是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也时有出现.一般来说，可采用下列策略建立数学模型
4、：（1）双向推理列式，利用已知条件顺向推理，运用所求结果进行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增长率的问题可建立指、对数或方程模型，行程、工程、浓度问题可以建立方程（组）或不等式模型，拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次模型，测量问题可建立解三角形模型； 计数问题可建立排列组合问题 ；机会大小问题可建立概率模型，优化问题可建立线性规划模型中学数学各个章节中有关应用问题的内容分别是：1函数：能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.2不等式：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.3平面向量:在立体几何与解析几何中
5、的应用.4三角函数：理解函数 y=Asin(x+)中 A、 的物理意义；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题.5数列：能运用公式解决简单的问题.6直线和圆的方程：了解线性规划的意义，并会简单的应用.7圆锥曲线方程：了解圆锥曲线的初步应用.- 35 -8直线、平面、简单几何体：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法.平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离.直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性
6、质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质.多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球等各部分都有应用.9排列、组合、二项式定理：掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题；理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的问题.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.这部分主要解决不同类问题(可重复排列问题，不可重复排列问题，组合问题)的辩析；多类多步排列组合问题的解决方法，主要是两个特元以上的特元法或特位法、排除法的应用10概率：
7、了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义；了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；了解互斥事件相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率.11概率与统计：了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列；了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差；会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本；会用样本频率分布去估计总体分布；了解正态分布的意义及主要性质
8、；了解假设检验的基本思想；会根据样本的特征数估计总体；了解线性回归的方法.12极限、导数、复数：了解导数概念的某些实际背影（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等） ，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；一、 建构函数模型的应用性问题解答函数型应用题，一般先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用1某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出 20 万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务124 584060 qp81- 36 -(
9、所有债务均不计利息)已知该种消费品的进价为每件 40 元；该店每月销售量 q（百件）与销售价 p（元件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为 600 元，该店应交付的其它费用为每月 13200 元（）若当销售价 p 为 52 元件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（）若该店只安排 40 名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？讲解 本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面由题目的问题找到关键词“收支平衡” 、 “还清所有债务” ，不难想到，均与
10、“利润”相关从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量 q、单位商品的销售价 p 之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润（）设该店的月利润为 S 元，有职工 m 名则40161320Sqp又由图可知： 4, 588pp所以， 2 40163200.)5( .808.234)(2f当 0x5 时，有0.4x 2+3.2x2.80,得 15 时，有 8.2x0,得 x5 时 f(x)b,各字母均为正值，所以 y1y20，即 y20,由 cb 及每字母都是正值，
11、得 cb+ .所以，当 cb+ 时 y21 时，才可对冲浪者开放. 1, 0.16cos2tt6cos2k ,26kt即有 12k30,2n 2+40n720，解得 2 ,即 140e ,g(t 1)80% ？（）求使得 60%成立的最小的自然数 .na为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，n设法求出这个数列的通项公式由题可知： ，03%1a254641 nnnn aaxy3x-y=1304x+6y=320M- 47 -所以，当 时， ，两式作差得：1n2541na154naa又 ，0002所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列1n1
12、a54所以， 210naaL14()3405()05n由上式可知：对于任意 ，均有 即全县绿地面积不可能超过总面积的Nn54na80%（）令 ，得 ，53na42()n由指数函数的性质可知： 随 的增大而单调递减，因此，我们只需从()5ng开始验证，直到找到第一个使得 的自然数 即为所求0nn验证可知：当 时，均有 ，而当 时，0,1234n2()n5，4().3276855n由指数函数的单调性可知：当 时，均有 5n4()5n所以，从 2000 年底开始，5 年后，即 2005 年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%点评：（）中，也可通过估值的方法来确定 的值2. 某铁路指挥部接到预报，
13、24 小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在 24 小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要 20 辆翻斗车同时作业 24 小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔 20 分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织 25 辆车。问 24 小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型 .由 20 辆车同时工作 24 小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为 a1，a 2，, a
14、25 小时，依题意它4801们组成公差 （小时）的等差数列，31d且- 48 -，化简可得 . 48025)(1,480480,225211 aaa即则 有 L 51928a解得 .35由 于可见 a1 的工作时间可以满足要求，即工程可以在 24 小时内完成.3. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为 2388 元/m 2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的 2.5 倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为 445 元/m 2，以后每增高一层，其建筑费用就增加 30 元/m 2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数
15、，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.讲解: 想想看, 需要引入哪些字母 ? 怎样建构数学模型?设楼高为 n 层，总费用为 y 元，则征地面积为 ，征地费用为 元，楼层建25.mnAnA5970筑费用为445+445+（445+30）+ （445+302）+445+30（n2） 元，从而AA)40315(（元）nny 10)4615(97当且仅当 , n=20（层）时，总费用 y 最少.故当这幢宿舍楼的楼高层数为 20 层时, 最少总费用为 1000A 元.5某人计划年初向银行贷款 10 万元用于买房他选择 10 年期贷款，偿还贷款的方式为：分 10 次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若 10 年期贷款的年利率为 4，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息） ，问每年应还多少元（精确到 1 元）？讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的比如说：现在的 10 元钱，其价值应该大于 1年后的 10 元钱原因在于：现在的 10 元钱，在 1 年的时间内要产生利息在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：法 1如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10 万元贷款的价值，与这
