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1、数学备课大师 免费】,其基本思路是从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题成立。运用反证法的关键是“寻找矛盾” ,可以与已知的公理、定义、定理矛盾;与题目的已知条件矛盾;与临时假设矛盾或推出两个互相矛盾的命题。下面结合解题实际,谈一谈什么时侯宜用反证法。一、证明否定型命题时常用反证法例 1 如果 是不全相等的实数,若 成等差数列,求证: 不成差数列。证明:假设 成等差数列,则c12由于 成等差数列,得 那么 ,即 2由、得 与 是不全相等的实数矛盾。,故 不成等差数列。评:本题是否定型命题,对于否定型命题的常规论证方法也是用反证法,从否定结论开始,在 成等差数列的条件下进行推理,得到 又成
2、等比数,因此 ,与已知矛盾,从而结论成立。二、正面证明困难时宜用反证法例 2 求证:方程 定方程的解:由对数的定义易得 明惟一性:假设这个方程的不是惟一的,它还有另解 ,则12x, 又 ,则 ,即 ., 由假设,得 ,251x1521x 210x从而,当 时, ;当 时, .21021x210x215、都与矛盾,这说明假设不成立,方程 评:当原命题从证明下手证明较困难时,可不时时机地选择从它的反面证数学备课大师 免费】,问题中出现“至多” “至少”时: 例 3 已知 都是正数,试证:关于 的三个方程 ,至少有一个方程有两个不相等的实根。082设三个方程均无不相等的实根,则 084)()(22是
3、正数矛盾002三个方程中至少有一个方程有两个不相等的实根点评:“至少” 、 “至多”型问题的常规证法是反证法;本题首先否定结论,利用方程的根与判别式之间的关系进行推理,最终推出与已知矛盾的结果,从而肯定命题的正确性。借助反证法,整个推理过程顺理成章,试想一下如果不用反证会将如何?四、解决存在型问题时有时可用反证法例 4 已知数列 中, , a 为正实数, )(11)若 ,试求 a 的取值范围。03(2)是否存在正实数 a,使 对任意 恒成立。01n) 01()121123 0)()25(255)( a ,0a),1,((2)不存在正实数 a,使 对任意 恒成立。下面用反证法加以01n免费】。假设存在正实数 a,对任意 ,使 恒成立,则 , 0111 11又 22111 121nn a即 1121)(故取 ,即 ,有 ,则与 矛盾,因此,不存在正实数20a0 ,对 ,恒成立。01n存在”就是有,证明有或者可以找出一个也行。 “不存在”就是没有,找不到。这类问题常用反证法加以认证。 “是否存在”的问题,结论有两种:如果存在,找出一个来;如果不存在,需说明理由,这时,通常用反证法。