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1、1数轴、绝对值、相反数重难点研习一、教材知识研习研习点 1数轴的概念（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴这里包含两个内容：一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可二是这三个要素都是规定的（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数【梳理总结】首先，要理解数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴它包含三层涵义：一是数轴是一条直线，可以向两端无限伸展二是数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可三是原点：原点是数轴上有特殊意义的点，它相当于温度计的零刻线；正方向及单位长度是根据实际需要“规定”的，正方向一般地
2、规定为向右的方向；单位长度可视具体情况而定，但要注意单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者是指所取度量单位的长度，而后者是指度量的单位的名称（米、分米、厘米等），这就是说单位长度是一条人为规定的代表“”的线段，这条线段可长可短，按实际情况而定典例 1下列各图中，表示数轴的是 ()研析画数轴时，数轴的三要素原点、正方向、单位长度是缺一不可的，所以应当用这三要素检查每个图形，判断是否画的正确解A 图没有指明正方向；B 图中，1 和-1 表示的一个单位长度不相等，在同一数轴上，单位长度必须一致；C 图中没有原点；D 图中三要素齐全2A、B、C 三个图画的都不是数轴，只有 D 图画的是数轴研习点 2
3、数轴的画法画法：画一条直线（一般水平放置），在这条直线上任取一点作原点，用这点表示0。规定直线上从原点向右为正方向（箭头所指方向），那么相反的方向，即从原点向左为负方向。选取适当的长度作为单位长度，在直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示 1、2、3，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1、-2、-3-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 图 121强调：三要素都是规定的，即可根据情况灵活选定原点的位置，正方向的指向、单位长度的大小也可根据不同需要选择，但这三要素一经确定，就不能随意改变。数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。【归纳整理】数轴的画法分为四步
4、：一画，画一条直线二取，在这条直线的适当位置取一点，作为原点，用实点表示三定，确定正方向，用箭头表示出来四统一，选取适当的长度作为单位长度，用细短线在直线上画出，并对应地标注各数，注意同一数轴的单位长度要一致画数轴常出现的错误：（1）没有方向；（2）没有原点；（3）单位长度不统一；（4）负数的排列错误典例 2判断下列图形中所画数轴是否正确，如不正确，指出错在哪里？0AC2 3 4-1 0D1研析画数轴三要素缺一不可，故以上数轴都不正确。解A 不正确，缺少单位长度； B 不正确，缺少正方向；C 不正确，缺少原点； D 不正确，单位长度不一致。研习点 3绝对值一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数
5、a 的点与原点的距离，数的绝对值记作a如：5指在数轴上表示 5 的点与原点的距离，这个距离是 5，所以 5 的绝对值是 5，记作5。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。3【梳理总结】无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于 0 的数，这是绝对值的非负性，即a0；（2）绝对值等于 0 的数只有一个，就是 0，若00；（3）绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。典例 3求下列各数的绝对值。（1） ；（2） ；（3）085研析一个数的绝对值与这个数
6、之间的关系有三种：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。解：（1）因为 是负数，所以 的绝对值等于 18，即 。181818（2）因为 是正数，所以 的绝对值等于 ，即 。353535（3）0 的绝对值等于 0，即 。说明：一个数绝对值与这个数的本身或它的相反数有关系。求一个数的绝对值，首先要对这个数做出判断：是正数还是负数或者 0；然后再选择一个数的绝对值与这个数之间的某种关系；最后写出结果。必须注意，求一个数的绝对值不能误认为就是去掉这个数前面的符号。当一个数是用字母表示的数，如 ，并没有a，同样，对于 ，也没有 。abb研习点 4相反数只有性质符号不同的两个
7、数，才互为相反数。如 和- ；-3 和 3；7 和-7 都是互31为相反数。0 的相反数是 0，由定义知相反数是成对出现的（但-3 和 5 不叫相反数），数4轴上表示它们的点分别在原点的两侧且与原点的距离相等。如图，5 与-5 互为相反数，21图 122【梳理总结】一般地，数 a 的相反数是-a,记作-(a)=-a；-a 的相反数是 a,即-(-a)=a，这里 a 可表示正数，负数和 0。正数的相反数是负数；0 的相反数还是 0；负数的相反数是正数。典例 4填空题：（1）2 的相反数的绝对值是_；（2）绝对值等于 5 的数是_；（3）绝对值不大于 2 的整数是_。研析求一个数的绝对值，用代数定
8、义比较方便，求绝对值等于 5 的数用几何定义比较直观，不大于即小于或等于，绝对值不大于 2 的整数即在数轴上到原点距离小于或等于 2 的整数点表示的数。解：（1）2； （2）5；（3）-2，-1，0，1，2。二、思维误区辨析易错点 1数轴的概念理解错误典例 1数轴的三要素是什么？研析误解数轴的三要素是指原点、正方向、长度单位正解数轴的三要素是原点、正方向和单位长度错因分析上面的回答错在混淆了“单位长度”和“长度单位”这两个概念看起来只有词序不同，但实际意义不一样“长度单位”是一个确定的量，如厘米、分米等而“单位长度”不是确定的，它的大小可根据实际需要适当选取当然还可用一个或若干个长度单位来作为
9、一个“单位长度”易错点 2数轴画法错误典例 2在数轴上记出下列各数：5.5，6，4，3.5，15研析错解如图 1235图 123正解如图 124图 124错因分析只有标明了原点、正方向和单位长度的直线，才是数轴上面画的数轴错在没有标出原点和单位长度易错点 3绝对值理解错误典例 3写出绝对值不大于 5 的整数研析错解绝对值不大于 5 的整数是：4，3，2，1，1，2，3，4正解绝对值不大于 5 的整数有：5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5错因分析上面解答错误有两处：其一，把符合条件的零排除在整数集合之外；其二，对“不大于”的含义认识模糊事实上，“不大于”包括“小于”或“等于”两层意思，不
10、能把“等于”排除在外易错点 4相反数典例 4已知 a0，b0，a|b|，试把a，b，a，b 用连结起来研析错解abba正解画数轴由 a0，b0 知表示 a，b 的点分别在数轴上原点的右边和左边，且由 a|b|和 a0 知|a|b|，所以表示 a 的点离原点较近因a，b 与 a，b 互为相反数和 a|b|，再找出a，b 两点(如图 125)显然，baab图 125错因分析解题者对这类较抽象的数的大小比较，常常不知道从何处下手，往往凭主观猜想乱写结论上面解答之所以出错，主要是解题思想方法不对所造成的即未把a和b 所对应的点在数轴上标出来事实上，a 和a 是互为相反数，它们分别在原点的两侧，且到原点的距离相等，b 和b 也是如此因此在数轴上标出有理数a，a，b，b，那么这四个数的大小关系就一目了然
