《高考数学题型全归纳:斐波那契数列(含答案)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学题型全归纳:斐波那契数列(含答案)(2页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、数学备课大师 免费】,每个月生一对小兔子。现把一对初生小兔子放在屋内,问一年后屋内有多少对兔子?先不在这里考虑兔子能否长大,或是某些月份没有生小兔子一类的问题,完全只由数学角度去考虑这问题,意大利数学家斐波那契(了这个题目,其内容大约是这样的:在第一个月时,只有一对小兔子,过了一个月,那对兔子成熟了,在第三个月时便生下一对小兔子,这时有两对兔子。再过多一个月,成熟的兔子再生一对小兔子,而另一对小兔子长大,有三对小兔子。如此推算下去,我们便发现一个规律:时间(月) 初生兔子(对) 成熟兔子(对) 兔子总数(对)1 1 0 12 0 1 13 1 1 24 1 2 35 2 3 56 3 5 8不
2、难发现,每个月成熟兔子的数目是上个月的兔子总数,而初生兔子的数目是上个月成熟兔子的数目,也即是两个月前的兔子总数,因此每个月的兔子总数刚好是上个月和两个月前的的兔子总数之和。由此可得每个月的兔子总数是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23, 377.,由此可知一年后有 377 对兔子。若把上述数列继续写下去,得到的数列便称为斐波那契数列,数列中每个数便是前两个数之数学备课大师 免费】,而数列的最初两个数都是 1。若果设 , , , , , , 3. 则成立这个关系式:当 n 大于 1,=+ 1=1。下面是一个古怪的式子:(1)似是无理数,但
3、当 n 是非负整数时,是整数,而且组成斐波那契数列,因为1=1,并且 =+ 可用数学归纳法来证明。利用斐波那契数列解决兔子数目的问题似乎没有甚么用途,因为不能保证兔子真的每月只生一对小兔子一类的问题,但事实上这个数列的应用十分广泛。例如一个走梯级的问题,若某人走上一段梯级,他每一步可以走上一级,或是跳过一级而走到第二级,若他要走上六级,有多少个不同走法?我们可以考虑,若果设 走 n 级梯级的走法的数目,若他在第 n 级,他可以走到第 ,或是跳过第 ,走到第 ,他在第 有 走法,而在第 有 走法,因此在第 n 级时的走法是 走法,即 他在第二级和第三级的走法分别有 1 个和 2 个,因此可知走法的数目与斐波那契数列有关。我们还可以利用斐波那契数列来做出一个新的数列,方法是把数列中相邻的数字相除,以组成新的数列如下:从(1)中可知当 n 无限增大时,数列的极限是这个数值称为黄金分割,它正好是方程 x 2+ 的一个根。