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1、参考书目,胡寿松主编，自动控制原理（第五版），国防工业出版社，2006.2李友善主编，自动控制原理（修订版 上、下册），国防工业出版社，1989.6 绪方胜彦著，现代控制工程，科学出版社，1984.7 Richard C. Dorf, Robert H. Bishop，Modern Control Systems ( Tenth Edition), 科学出版社，2005,第七章 线性离散系统的分析与校正,离散系统与连续系统：既有本质的不同，又有分析研究方面的相识性。相同点：1、采用反馈控制结构 2、都有被控对象、测量元件和控制器组成 3、控制系统的目的 4、系统分析的内容不同点：信号的形式（采
2、样器、保持器）,本章主要讨论：离散系统的分析和校正方法.建立信号采样和保持的数学描述 z 变换理论和脉冲传递函数线性离散系统稳定性和性能的分析与校正方法.在系统校正部分,我们将主要讨论数字控制系统的校正方法.,7.1 采样系统的基本概念7.2 信号的采样和复现的数学描述7.3 z变换理论7.4 脉冲传递函数7.5 采样系统的稳定性与稳态误差7.6 采样系统的动态性能分析7.7 采样系统的数字校正,Outline,7.1 采样系统的基本概念,连续时间系统（continuous time system) 模拟 控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数离散系统(discrete time syst
3、em) 控制系统中有一处或几处信号是脉冲序列或数码,采样控制系统: 系统中的离散信号是脉冲序列 时间离散，数值连续数字控制系统(digital control system) 计算机控制系统(computer control system) 系统中的离散信号是数字序列(数码)形式 时间离散，数值离散,7.1.1 采样控制系统（Sampled-Data Control System),图7-1 炉温采样控制系统原理图,图7-1 信号的采样,连续系统的信号在某些规定的时间上取值成为断续形式的脉冲信号而相邻两个脉冲之间是没有信号值的,采样系统:,周期采样. 如果系统中有几个采样器,则应该同步等周期.
4、非周期采样(随机采样).,连续信号 转换为 脉冲序列 采样器(sampler),脉冲序列 转换为 连续信号 保持器(holder).采样器和保持器,是采样控制系统中两个特殊环节., 信号采样和复现,(7-1),开关闭合 开关打开,把脉冲序列转变为连续信号的过程,称为信号复现过程.实现复现过程的装置称为保持器,保持器的作用有:, 实现两种信号之间的转换;, 对脉冲信号进行复现滤波,避免高频噪声,e*(t),eh(t), 采样系统的典型结构图,开环采样系统:采样器位于系统闭合回路之外闭环采样系统:采样器位于系统闭合回路之内误差采样控制的闭环采样系统,采样开关 S 的输出幅值,与输入幅值之间存在线性
5、关系线性采样系统.,7.1.2 数字控制系统(digital control system),小口径高炮高精度数字伺服系统,数字控制系统 数字计算机为控制器 控制具有连续工作状态的被控对象数字计算机（离散）被控对象（controlled plant）（连续）,A/D和D/A转换器,计算机控制系统,analogdigital,（1）A/D过程,采样 时间上离散,量化 数值上离散, 字长足够 认为 e*(kT)=e(kT), t T 认为采样瞬时完成,理想采样过程,模数转换器.包括采样与量化两过程.,（2）计算过程描述,零阶保持器 (ZOH),（3）D/A 过程,数模转换器，包括解码与复现两过程,
6、计算机控制系统的描述方法,假定 A/D 转换器有足够的字长,量化单位 q 足够小,采样编码时间很短, 理想开关来代替数字控制器: 传递函数为 Gc(s) 与采样开关S 相串联.,7.1.3 数字控制系统的典型结构图,图7-9 数字控制系统典型结构图,7.1.4 离散控制系统的特点,(2)由软件实现的控制规律易于改变,控制灵活.,(1)数字信号的传递可以抑制噪声, 提高系统的抗干扰能力.,(3)可用一台计算机分时控制若干个系统,经济性好.,(4)对于具有传输延迟,特别是大滞后的控制系统,可以引人采样的方式使其趋于稳定.,7.1.5 离散系统的研究方法,1）差分方程2）z-变换法可引入连续系统的研
7、究方法3）状态空间法；,7.2 信号的采样和保持的数学描述,脉冲信号的表达式为： 脉冲函数，是一宽度为 ，高度为 的矩形脉冲，矩形的面积为A。,具有重要的作用 任意形式的外作用可以看作是在不同时刻存在的，强度不同的无限多个脉冲函数的叠加。,理想的单位脉冲信号实际上是不存在的，只具有数学意义,当A=1时，称为理想单位脉冲函数，亦称 函数。,理想单位脉冲函数,函数，性质：,对t1连续的任何函数f,单位脉冲序列,7.2 信号的采样和保持的数学描述,当采样开关的闭合时间 时,采样器就可以用一个理想采样开关来代替,采样过程可以看成是一个幅值调制过程.理想采样开关好像是一个载波为 的幅值调制器, 其中 为
8、理想单位脉冲序列.,采样信号的物理意义,单位脉冲序列被连续时间信号作了幅值加权。,连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制。,采样器输出看做是串脉冲，脉冲的强度，等于各采样瞬时上的采样值。,其中 是出现在时刻 时、强度为1的单位脉冲,故式(7-2)可以写为,7.2.2 采样过程的数学描述, 采样信号的拉氏变换,拉氏变换位移定理,滞后环节,例 7-1 设 e(t)=1(t) , 试求 的拉氏变换.,解:,这是一个无穷等比级数,公比为 ,求和后得闭合形式,显然, 是 的有理函数,例 7-2 设 为常数,试求 的拉氏变换.,式中, 为 s 的实部,上式也是 的有理函数.,解:,例 7-3 设 试求
9、 的拉氏变换.,以上分析表明,尽管 是 的有理函数,但却是复变量 s 的超越函数,不便于进行分析和设计.为此,通常采用 z 变换法研究离散系统. z 变换可以把离散系统的 s 超越方程变换为变量 z 的代数方程.,解:, 采样信号的频谱,由于采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息,采样信号的频谱与连续信号的频谱相比,要发生变化.研究采样信号的频谱, 找出 与 之间的相互联系.,理想单位脉冲序列 是一个周期函数,可展开为富氏级数：,式中, ,为采样角频率, 是富氏系数,其值为,由于在 区间中, 仅在 t=0 时有值,且,拉氏变换的复数位移定理得,式中： -原函数e(t)的频谱，最高频率为,以
10、代入（在频域内）,上式变为：,物理含义 ？,信号的频谱,拉氏变换、傅氏变换,信号叠加, 给出E*(s)与e(t)在采样点上取值之间的关系； 一般可写成封闭形式； 用于求e*(t)的z变换或系统的时间响应。, 给出E*(s)与E(s)之间的联系； 一般写不成封闭形式； 用于e*(t)的频谱分析。,采样信号的拉氏变换-时域,采样信号的频谱- 频域,式中： -原函数e(t)的频谱，最高频率为,以 代入（在频域内）,上式变为：,物理含义 ？,信号的频谱,拉氏变换、傅氏变换,信号叠加,信号复现的条件：,当s 2h 时，采样频谱中的补分量相互交叠,特例：sin函数的采样问题,7.2.3 香农采样定理,为使
11、采样后的脉冲序列频谱互不搭接，采样频率必须大于或等于原信号所含的最高频率的两倍,这样才有可能通过理想滤波器,把原信号毫无畸变地恢复出来,实际使用时，,必要条件 非 充要条件,物理含义？,矛盾问题,理想滤波器是不易实现的，而通常用的滤波器就是保持电路。保持器的任务就是解决各采样点之间的插值问题。,7.2.5 信号保持,把采样信号恢复为原来的连续信号称为信号的复现。,实际使用的方法：保持器,信号的复现：,又采样又信号复现 ？, 保持器的数学描述,保持器是具有外推功能的元件.保持器的外推作用,表现为现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推.通常,采用如下多项式外推公式描述保持器：,(7-18)
12、,式中, 是以 nT 时刻为原点的坐标.式(7-18)表示现在时刻的输出 值,取决于 各过去时刻的离散信号 的 个值.若取m=0 , 则称零阶保持器; m=1 称一阶保持器.在工程实践中,普遍采用零阶保持器., 零阶保持器（Zero-order hold),零阶保持器（恒值外推）的外推公式为：,零阶保持器把前一采样时刻 的采样值 e(nT) 一直保持到下一采样时刻(n+1)T到来之前,从而使采样信号变成阶梯信号,由于零阶保持器前后的信号可分别表示为：,和 的拉氏变换分别为：,零阶保持器的传递函数为：,其频率特性为（以 代入）：,(7-21),若以采样角频率 来表示,则上式可写为:,(7-22)
13、,根据上式,可画出零阶保持器的幅频特性 和相频特性, 低通特性.零阶保持器基本上是一个低通滤波器,但与理想滤波器相比,在 时,其幅值只有初值的0.637., 相角滞后特性.相角滞后随 的增大而增加,从而使闭环系统的稳定性变差., 时间滞后特性.零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t),其平均响应为 ,表明其输出比输入在时间上要滞后T/2,对系统的稳定性不利.此外,阶梯输出也同时增加了系统输出的波纹.,零阶保持器的近似实现,取前两项,单位脉冲序列,采样信号的拉氏变换,采样信号的频谱,香农采样定理,零阶保持器,公式小结,7.3 z变换理论,连续时间信号：e(t) 拉氏变换：E(s)离散时间信号：e(nT) Z 变换： E(z),令：,7.3.1 z 变换定义,对于采样函数:,取拉氏变换:,延时环节 延时T,说明:z变换是一种变量置换，通过它将s的超越函数变为z的有理分式。,则:,z变换举例,i、z变换的离散特性z变换所处理的对象是离散时间序列，而不带有原信号采样点之间的任何信息。,z变换对应的连续函数不唯一,z变换是由某连续函数的采样离散信号得到，与离散信号一一对应,ii、z变换的时间特性,调制脉冲 (t-nT) 对应于变换算子 ， 又称为一步延迟因子， 变换算子 z 带有明确的时间信息。,iii、z变换的收敛和特性z变换定义为以z为自变量的罗朗级数。 收敛条件,
