概率论与数理统计总结之第一章(

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1、第一节 概率论的基本概念随机试验三个特点：1. 试验的可重复性2. 一次试验结果的随机性。3. 全部试验结果的可知性具有以上三个特点的试验称之为随机试验，简称试验。样本点：随机试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点, 用 表示 样本空间：将随机试验 E的所有可能出现的结果组成的集合称为 E的样本空间，记 样本空间的元素，即 E的每个结果，称为样本点1. 基本事件：由一个样本点组成的单点集。2. 必然事件：样本空间 包含所有的样本点，它是 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。3. 不可能事件：空集 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。事件间的

2、关系与运算：1. 事件的包含与相等若 ，,A 发生必然导致事件 B发生。AB若 且 ,即 A=B。2. 和事件( )A.B至少有一个发生。记 或 A+B.A1） 2）若,B,AB3. 积事件( )AA,B同时发生时。记 或 AB。1） 2）若,B,4. 差事件(A-B)当 A发生、B 不发生，记 。AB1） 2）若,没有包含关系也可以作差运算。5. 互不相容(互斥) A B不能同时发生。即 6. 对立事件（逆事件） 且ABA的不发生为 的对立事件。 （补集）A,B发生，但只能有一个发生，且 A.B互不相容，即 且 AB1) 2) 3) ,A注：对立： 且BA互斥： 如果： 只有他们都是不可能事

3、件(对立事件)时，才相等，所以也互逆A运算律：设 为事件，则有,BCa) 交换律： ;.BABb) 结合律： ()();C()().ABCc) 分配律： ()ABC.d) 对偶律： ,A,()ABB第二节 频率与概率1.频率： nf1.0 1(非负性)nfA2. 1,0nnff若 是两两互不相容的事件，则.B ()nnnfABffB同理： ( ）= （ )+ （ ）=nf12Akf1fk1kA概率：P(A)1. 0 1 非负性P2. 规范性（必然事件 1，不可能事件 0）1,0（ ）由概率的信息推不出事件的关系。APc) ( = （两两互斥事件和事件的概率等于事件概率的12.)11()()mk

4、kPA和）其它性质：1. 减法公式： ()()BBPA若 ，则有 ,A()PB2. 逆事件： ()1()P3. 加法公式： ()BAPB三个事件的情况: ()()()()CCPACPBAC古典概型（等可能概型）两个特点：1. 基本事件的总数是有限的。 （样本空间仅含有有限个样本点）2. 试验中每个基本事件发生的可能性相同计算公式：即：()中 样 本 点 数中 样 本 点 总 数rAPn()中 所 包 含 的 基 本 事 件 数基 本 事 件 总 数rAPn当以不放回抽样一次取一个，一共取次时，所求到的概率和以一次性抽个，所求的概率相等。所以，可近似的把一次取次当当作一次取一个取次的概率来计算。

5、古典概型的性质：1. 0 1PA2. 1,03. 当 A.B互不相容时， PABP是一系列互不相容的事件，有12.nA 12 2. .n nAPAPA第三节 条件概率设 A,B是两个事件，且 P(A)0， 为在事件 A发生的条件下事件 B发生的()()PBA条件概率.变形可推乘法公式： ()(),0)PABPB可推 N个事件的情况：设 ，则：()0PAB()()()CCA设 ，则：CPABPB设 ，则：()0()()()条件概率 P(A)的性质：1.非负性:P(BA)02.规范性：对于必然事件 S，有 P(BA)=13.设 是两两互不相容的事件，则有 12,B 1(iPB1)(iiAPB)A性

6、质:1.0()1PA2. ()3. ()1()PBA4. 121212()()PBA2.全概率公式（逆概公式）：设 是满足以下条件12.nA1） 互不相容 ， 且 ，12.n()01,2)i n2） ，则 至少有一个发生，则称 为样本空间的12.nA12.nA12.nA一个划分。当 的一个划分时，每次试验有且只有其中一个事件发生。12.是n全概率公式： 1()()iiiPBPB注意：当 , 。0A与 就 是 的 一 个 划 分全概率公式的最简单形式为： ()()()APBA用全概率公式情形：若试验可以看成分两个阶段完成，第一阶段的具体结果未知，但所有可能结果已知，现求第二个某结果发生的概率用全

7、概率公式。完全事件组：第一个阶段的所有可能结果。贝叶斯公式：设 是样本空间的一个划分，B 是任意一事件，且 ，则： 12.nA ()0PB1()()() )乘 法 公 式全 概 率 公 式iiii niiiPPAB注；若第二个的某个结果已知，现求它是由第一个概率结果引起的概率用贝叶斯公式。第四节 事件的独立性若这 P（AB）=P(A)P(B),则称事件 A,B相互独立，简称 A,B独立性质 1：设 P(A)0，则 A,B相互独立的充分必要条件是，则 P(BA)=P(B)设 P(B)0，则 A,B相互独立的充分必要条件是，则 P(AB)=P(A)性质 2：若事件 A与 B相互独立，则：A 与 ,

8、 与 B, 与 也相互独立。BAB（三事件两两独立， ）()(),(),()()PABPCPC（三事件相互独立， ）, ,()()(C如果 A,B,C相互独立，一定两两独立.两两独立不一定相互独立。 事件的独立性：独立：P（AB）=P(A)P(B) 0 互斥：P（AB）=0 A,独立一定不互斥、 、A,互斥一定不独立与任何事件独立的情况有：1.必然事件（ ） 、不可能事件（ ）与任何事件都独立. 1AB2.只要满足：P(A)=0 或 P(A)1 时，A 与任何事件都独立。三个事件可两两独立，但不能得出相互独立。若 ,事件 A,独立与下列条件等价：0()1PA)()()B3.贝努利概型：只有两个

9、结果独立的重复进行 N次。定理：在 n重贝努利试验中，设每次试验中事件 A的概率为 p( ),则称事件 A恰01p好发生 K次的概率： ()(1),0.12knknnPCpnN次实验中恰有 K次发生，相当于 N个位置选出 K个，在这个 K个位置处 A发生，得到种选法，且 个事件互不相容，这 个事件的概率都是 。knCkn kn (1)knkp重要知识点：ABC仅 A发生的概率： ()PABCABC都发生的概率： （或都不发生： ）()()PABCAB发生，C 不发生： ()AB至少有一个发生，C 不发生： ()ABC至少有一个发生的概率： ()()()()()PABCPBCABPCAPBCABC一个都不发生的概率： ()1ABC恰有一个发生的概率： ()()DABC最多有一个发生的概率： ()1()()PABCPABCP