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1、236解读日本提出的非正弦振动曲线（ ）)2sin(1 tifAymi 曾晶 杨拉道 杨超武 雷华 王蓉(西安重型机械研究所 陕西 西安 710032) 摘要： 解读 1992 年由日本提出的一种非正弦振动曲线，给出曲线表达式中系数的求解方法。关键词：非正弦振动 正弦波叠加Crack the non-sin oscillating expression brought forward by Japan（ ）)2sin(1 tifAymi ZengJing YangLaDao YangChaowu LeiHua WangRong(Xian Heavy Machinery Research Ins
2、titute, Xian 710032, China)Abstract: Crack the non-sin oscillating expression brought by Japan in 1992 ,and give away to calculate the coefficient in this expression.Key words: no-sin oscillate superposition of sine waves1992 年，日本鐵鋼第 78 年（1992）第 1 号发表了一篇题为“高速鑄造時鑄型內論熱潤滑舉動鑄型振動波形影響”的文章（第 113-120 页） ，文章
3、中给出了偏斜正弦波可以用多个正弦波叠加而产生的基本概念，其具体表达式如下：(1)2sin(1 tifAymi 式中 为振动的频率;f为第 个正弦波的振幅;iAi为时间;t该公式中所涉及的系数 的求解，文章中没有公布具体的算法。振动曲线的位移、速度、加速度图像形状大iA致如图 1 所示。位移 速度 加速度图 1 位移、速度、加速度形式从已知的测量数据及其系数来看，该曲线的加速度和其他类似的非正弦振动曲线的加速度相比是比较小的。由于是由多个正弦波的叠加而产生，该振动曲线具有任意阶导数，即速度、加速度、跃度全部光滑可导。在不考虑加速度图像存在二类间断点的情况下，可以构建形如图 2 所示的非正弦振动的
4、速度曲线，图中的 BC237段和 DF 段均为直线且其斜率互为倒数。若在振动曲线的偏斜率 、频率为 、冲程为 一定的情况下该曲线在fh至 时间内或 至 时间内加速度小于任何形式的振动曲线。但该曲线明显不可导，从理论上讲加速度图像BtDtF存在二类间断点，在 B 点 F 点的加速度趋于无穷大。如果想在此基础上去掉二类间断点并保留 BD 段和 DF 段加速度的优越性，则可采用傅立叶三角级数去表达该速度曲线。图 2 构建的速度曲线确立构建的速度曲线的相关参数：该速度曲线分为 4 个部分，每段均为直线，水平段 AB、斜线段 BD、斜线段 DF、水平段 FG，其中 C、E 两点处的速度为零，对应位移曲线
5、的波峰和波谷，对应时间上 和 的两个时刻。f4/1f4/3由于斜线段 BD、斜线段 DF 与时间轴所围成的面积必须等于冲程 ，才能保证曲线为周期性的振动曲线, 设最大的h速度为 ，建立方程：maxVVtCEmax211axf设水平段 AB 的速度为 、斜线段 BD 的斜率为 、 斜线段 DF 的斜率为 ，则0vkk0431vftkftGFDBAtttttttt式 (1)其中斜率 ，因此式（1）也可以写成：2max641hffftVkDE23802201416vfthfftfvGFDBAtttttttt式 (2)因为直线段 AB、斜线段 BC 与时间轴所围城的面积是 ，设从点 B 到点 C 的时
6、间为 ，建立以下方程：2h2t2241020 hvtfftkvftfv41220因为 ，所以 ，如果 ，当 时显然不合理，所ft2ffft2210以应当舍去 这组解，因此fthv412220ftfhv412220确立构建的速度曲线的位移表达式：将式(2) 积分就可以得到位移的表达式如下:ftvBfthfAftftv1214802220GFDBAtttttttt其中 A、B 为常数，由原函数必连续的定理知位移图像在时刻 、 也连续，建立方程如下：BFFFBtvfthf tAftf 022 0224182h239所以位移的最终表达式为： ftvhfthfftftv1248102220GFDBAtt
7、tttttt式 (3)确立构建的速度曲线的加速度表达式：将式(2)求导就可以得到加速度的表达式如下： 016022hff GFDBAtttttttt式 (4)傅立叶三角级数的表达三角级数表达形式为 )2sin(1ftAymi 从表达式(3)可知，该分段函数满足“狄里克雷”条件，可以用傅立叶三角级数表示。首先对式(3)式进行奇拓延,使函数的定义域范围界定在区间 上；2,T由傅立叶三角级数一般项系数的求解公式，给出 的显式表达：ndtfnhtdtfntvLAB DBtn0 2)si()2si(2 式中： ， ， ， ,fftB41f41218f2014hvftD1令 ，其中CLn2 04)sin(
8、)2cos()si( 20 Bt tfvftfndtfnvAB BDt tf fntfntttfDB 32 42si2cos1i 240BDt tfnhdtfnhCDB 42cos)2si(化简后表达如下： 23 322 322201cos8 211)( nh nftCoshnf ftnSitftCostf nhfnnfvftosttSinAn BBBBB nBBB式（5）对于由多个正弦波叠加的非正弦振动曲线来说，工程上只能使用有限的正弦波个数，一般为 35 项，因此在对构建曲线进行了有 35 项傅立叶三角级数替换后，与原构建曲线在着一定的差异，如图 3 所示。也正是由于有限的正弦波的个数使得
9、该曲线在维持了原构建曲线小加速度的特性的同时，且具有了任意阶导函数，即速度、加速度、跃度均光滑可导。图 3 叠加正弦波和构建曲线的差异由于对工程上使用有限的正弦波进行叠加，必然导致计算结果和原构造曲线之间在振幅和偏斜率上存在一定的偏差，因此可以通过计算机程序采用二分法得到真实的偏斜率，然后在此基础上对所有参与叠加的正弦波的振幅统一乘以一个修正系数，便可得到所要求的精确振幅。从式（5）可知系数 与频率无关，因此可设非正弦振动曲线的冲程为单位“1” ，频率为 1 次/分钟建立nA一张加速度、系数与偏斜率的关系表，如表 1 所示（省略部分表格） 。并以此为基础通过简单的换算关系得出各种振幅及各种偏斜
10、率的非正弦振动的全部系数及最大加速度。2415 项 5 项偏斜率 A1 A2 A3 A4 A5 Amax 偏斜率 A1 A2 A3 A4 A5 Amax34.10% 0.44661 -0.13313 0.03171 -0.00246 0.00000 0.01171 37.50% 0.43953 -0.14159 0.04049 -0.00590 0.00000 0.0130834.20% 0.44641 -0.13340 0.03197 -0.00254 0.00000 0.01175 37.60% 0.43931 -0.14182 0.04075 -0.00602 0.00000 0.013
11、1234.30% 0.44620 -0.13366 0.03223 -0.00263 0.00000 0.01178 37.70% 0.43910 -0.14205 0.04101 -0.00614 0.00000 0.0131634.40% 0.44600 -0.13393 0.03248 -0.00271 0.00000 0.01182 37.80% 0.43888 -0.14228 0.04127 -0.00626 0.00000 0.0132134.50% 0.44579 -0.13419 0.03274 -0.00279 0.00000 0.01186 37.90% 0.43867
12、-0.14251 0.04153 -0.00639 0.00000 0.0132534.60% 0.44559 -0.13445 0.03299 -0.00288 0.00000 0.01189 38.00% 0.43845 -0.14273 0.04179 -0.00651 0.00000 0.0133034.70% 0.44538 -0.13472 0.03325 -0.00297 0.00000 0.01193 38.10% 0.43823 -0.14296 0.04206 -0.00664 0.00000 0.0133434.80% 0.44518 -0.13498 0.03351 -
13、0.00306 0.00000 0.01197 38.20% 0.43802 -0.14318 0.04232 -0.00677 0.00000 0.0133934.90% 0.44497 -0.13524 0.03377 -0.00315 0.00000 0.01201 38.30% 0.43780 -0.14340 0.04258 -0.00690 0.00000 0.0134335.00% 0.44476 -0.13549 0.03402 -0.00324 0.00000 0.01205 38.40% 0.43758 -0.14362 0.04284 -0.00703 0.00000 0
14、.0134835.10% 0.44456 -0.13575 0.03428 -0.00333 0.00000 0.01209 38.50% 0.43736 -0.14384 0.04310 -0.00716 0.00000 0.0135235.20% 0.44435 -0.13601 0.03454 -0.00342 0.00000 0.01213 38.60% 0.43714 -0.14406 0.04336 -0.00730 0.00000 0.0135735.30% 0.44414 -0.13626 0.03479 -0.00352 0.00000 0.01216 38.70% 0.43
15、692 -0.14428 0.04362 -0.00743 0.00000 0.0136135.40% 0.44394 -0.13652 0.03505 -0.00361 0.00000 0.01220 38.80% 0.43669 -0.14450 0.04388 -0.00757 0.00000 0.0136635.50% 0.44373 -0.13677 0.03531 -0.00371 0.00000 0.01224 38.90% 0.43647 -0.14472 0.04414 -0.00770 0.00000 0.0137135.60% 0.44352 -0.13702 0.03557 -0.00381 0.00000 0.01228
