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1、【1】假设有一个池塘,里面有无穷多的水。现有 2 个空水壶,容积分别为5 升和 6 升。问题是如何只用这 2 个水壶从池塘里取得 3 升的水。由满 6 向空 5 倒,剩 1 升,把这 1 升倒 5 里,然后 6 剩满,倒到 5 里面,由于 5 里面有 1 升水,因此 6 只能向 5 倒 4 升水,然后将 6 剩余的 2 升,倒入空的 5 里面,再灌满 6 向 5 里倒 3 升,剩余 3 升。【2】周雯的妈妈是豫林水泥厂的化验员。一天,周雯来到化验室做作业。做完后想出去玩。等等,妈妈还要考你一个题目,她接着说,你看这 6 只做化验用的玻璃杯,前面 3 只盛满了水,后面 3 只是空的。你能只移动
2、1 只玻璃杯,就便盛满水的杯子和空杯子间隔起来吗?爱动脑筋的周雯,是学校里有名的小机灵,她只想了一会儿就做到了。请你想想看,小机灵是怎样做的?设杯子编号为 ABCDEF,ABC 为满,DEF 为空,把 B 中的水倒进 E 中即可。【3】三个小伙子同时爱上了一个姑娘,为了决定他们谁能娶这个姑娘,他们决定用手枪进行一次决斗。小李的命中率是 30,小黄比他好些,命中率是50,最出色的枪手是小林,他从不失误,命中率是 100。由于这个显而易见的事实,为公平起见,他们决定按这样的顺序:小李先开枪,小黄第二,小林最后。然后这样循环,直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢?他们都应该采取什
3、么样的策略?小林在轮到自己且小黄没死的条件下必杀黄,再跟菜鸟李单挑。所以黄在林没死的情况下必打林,否则自己必死。小李经过计算比较(过程略),会决定自己先打小林。于是经计算,小李有 873/260033.6%的生机;小黄有 109/26041.9%的生机;小林有 24.5%的生机。哦,这样,那小李的第一枪会朝天开,以后当然是打敌人,谁活着打谁; 小黄一如既往先打林,小林还是先干掉黄,冤家路窄啊!最后李,黄,林存活率约 38:27:35;菜鸟活下来抱得美人归的几率大。李先放一空枪(如果合伙干中林,自己最吃亏)黄会选林打一枪(如不打林,自己肯定先玩完了)林会选黄打一枪(毕竟它命中率高)李黄对决0.3
4、:0.280.4 可能性李林对决 0.3:0.60.6 可能性成功率 0.73李和黄打林李黄对决 0.3:0.40.7*0.4 可能性李林对决0.3:0.7*0.6*0.70.7*0.6 可能性成功率 0.64【4】一间囚房里关押着两个犯人。每天监狱都会为这间囚房提供一罐汤,让这两个犯人自己来分。起初,这两个人经常会发生争执,因为他们总是有人认为对方的汤比自己的多。后来他们找到了一个两全其美的办法:一个人分汤,让另一个人先选。于是争端就这么解决了。可是,现在这间囚房里又加进来一个新犯人,现在是三个人来分汤。必须寻找一个新的方法来维持他们之间的和平。该怎么办呢?按:心理问题,不是逻辑问题是让甲分
5、汤,分好后由乙和丙按任意顺序给自己挑汤,剩余一碗留给甲。这样乙和丙两人的总和肯定是他们两人可拿到的最大。然后将他们两人的汤混合之后再按两人的方法再次分汤。【5】在一张长方形的桌面上放了 n 个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内,也可能有一些彼此重叠;当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时,新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用 4n 个硬币完全覆盖。要想让新放的硬币不与原先的硬币重叠,两个硬币的圆心距必须大于直径。也就是说,对于桌面上任意一点,到最近的圆心的距离都小于 2,所以,整个桌面可以用 n 个半径为 2 的硬币覆盖。把桌面和硬币的尺度都缩小一倍,那么
6、,长、宽各是原桌面一半的小桌面,就可以用 n 个半径为 1 的硬币覆盖。那么,把原来的桌子分割成相等的 4 块小桌子,那么每块小桌子都可以用 n 个半径为 1 的硬币覆盖,因此,整个桌面就可以用 4n 个半径为 1 的硬币覆盖。【6】一个球、一把长度大约是球的直径 2/3 长度的直尺.你怎样测出球的半径?方法很多,看看谁的比较巧妙【7】五个大小相同的一元人民币硬币。要求两两相接触,应该怎么摆?底下放一个 1,然后 2 3 放在 1 上面,另外的 4 5 竖起来放在 1 的上面。【8】猜牌问题 S 先生、P 先生、Q 先生他们知道桌子的抽屉里有 16 张扑克牌:红桃 A、Q、4 黑桃 J、8、4
7、、2、7、3 草花 K、Q、5、4、6 方块 A、5。约翰教授从这 16 张牌中挑出一张牌来,并把这张牌的点数告诉 P 先生,把这张牌的花色告诉 Q 先生。这时,约翰教授问 P 先生和 Q 先生:你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗?于是,S 先生听到如下的对话:P 先生:我不知道这张牌。Q 先生:我知道你不知道这张牌。P 先生:现在我知道这张牌了。Q 先生:我也知道了。听罢以上的对话,S 先生想了一想之后,就正确地推出这张牌是什么牌。请问:这张牌是什么牌?方块 5【9】一个教授逻辑学的教授,有三个学生,而且三个学生均非常聪明!一天教授给他们出了一个题,教授在每个人脑门上贴了一张纸条
8、并告诉他们,每个人的纸条上都写了一个正整数,且某两个数的和等于第三个!(每个人可以看见另两个数,但看不见自己的)教授问第一个学生:你能猜出自己的数吗?回答:不能,问第二个,不能,第三个,不能,再问第一个,不能,第二个,不能,第三个:我猜出来了,是 144!教授很满意的笑了。请问您能猜出另外两个人的数吗?经过第一轮,说明任何两个数都是不同的。第二轮,前两个人没有猜出,说明任何一个数都不是其它数的两倍。现在有了以下几个条件:1.每个数大于02.两两不等 3.任意一个数不是其他数的两倍。每个数字可能是另两个之和或之差,第三个人能猜出 144,必然根据前面三个条件排除了其中的一种可能。假设:是两个数之
9、差,即 xy144。这时 1(x,y0)和 2(x!y)都满足,所以要否定 xy 必然要使 3 不满足,即 xy2y,解得 xy,不成立(不然第一轮就可猜出),所以不是两数之差。因此是两数之和,即 xy144。同理,这时 1,2 都满足,必然要使 3 不满足,即 xy2y,两方程联立,可得x108,y36。这两轮猜的顺序其实分别为这样:第一轮(一号,二号),第二轮(三号,一号,二号)。这样分大家在每轮结束时获得的信息是相同的(即前面的三个条件)。那么就假设我们是 C,来看看 C 是怎么做出来的:C 看到的是 A 的 36 和 B的 108,因为条件,两个数的和是第三个,那么自己要么是 72 要
10、么是 144(猜到这个是因为 72 的话,108 就是 36 和 72 的和,144 的话就是 108 和 36 的和。这样子这句话看不懂的举手):假设自己(C)是 72 的话,那么 B 在第二回合的时候就可以看出来,下面是如果 C 是 72,B 的思路:这种情况下,B 看到的就是 A 的 36 和 C 的 72,那么他就可以猜自己,是 36 或者是 108(猜到这个是因为 36 的话,36 加 36 等于72,108 的话就是 36 和 108 的和):如果假设自己(B)头上是 36,那么,C 在第一回合的时候就可以看出来,下面是如果 B 是 36,C 的思路:这种情况下,C 看到的就是 A
11、 的 36 和 B 的 36,那么他就可以猜自己,是 72 或者是 0(这个不再解释了):如果假设自己(C)头上是 0,那么,A 在第一回合的时候就可以看出来,下面是如果 C 是 0,A 的思路:这种情况下,A 看到的就是 B 的 36 和 C 的 0,那么他就可以猜自己,是 36 或者是 36(这个不再解释了),那他可以一口报出自己头上的 36。(然后是逆推逆推逆推),现在 A 在第一回合没报出自己的36,C(在 B 的想象中)就可以知道自己头上不是 0,如果其他和 B 的想法一样(指 B 头上是 36),那么 C 在第一回合就可以报出自己的 72。现在 C 在第一回合没报出自己的 36,B
12、(在 C 的想象中)就可以知道自己头上不是 36,如果其他和 C 的想法一样(指 C 头上是 72),那么 B 在第二回合就可以报出自己的108。现在 B 在第二回合没报出自己的 108,C 就可以知道自己头上不是 72,那么 C 头上的唯一可能就是 144 了。【10】某城市发生了一起汽车撞人逃跑事件,该城市只有两种颜色的车,蓝15%绿 85%,事发时有一个人在现场看见了,他指证是蓝车,但是根据专家在现场分析,当时那种条件能看正确的可能性是 80%那么,肇事的车是蓝车的概率到底是多少?15%*80%/(852015%*80%)【11】有一人有 240 公斤水,他想运往干旱地区赚钱。他每次最多
13、携带 60公斤,并且每前进一公里须耗水 1 公斤(均匀耗水)。假设水的价格在出发地为 0,以后,与运输路程成正比,(即在 10 公里处为 10 元/公斤,在 20 公里处为 20 元/公斤.),又假设他必须安全返回,请问,他最多可赚多少钱?f(x)=(60-2x)*x,当 x=15 时,有最大值 450。4504 【12】现在共有 100 匹马跟 100 块石头,马分 3 种,大型马;中型马跟小型马。其中一匹大马一次可以驮 3 块石头,中型马可以驮 2 块,而小型马 2 头可以驮一块石头。问需要多少匹大马,中型马跟小型马?(问题的关键是刚好必须是用完 100 匹马)6 种结果【13】1=5,2
14、=15,3=215,4=2145 那么 5=?因为 1=5,所以 5=1【14】有 2n 个人排队进电影院,票价是 50 美分。在这 2n 个人当中,其中n 个人只有 50 美分,另外 n 个人有 1 美元(纸票子)。愚蠢的电影院开始卖票时 1 分钱也没有。问:有多少种排队方法使得每当一个拥有 1 美元买票时,电影院都有 50 美分找钱注:1 美元=100 美分拥有 1 美元的人,拥有的是纸币,没法破成 2 个 50 美分本题可用递归算法,但时间复杂度为 2 的 n 次方,也可以用动态规划法,时间复杂度为 n 的平方,实现起来相对要简单得多,但最方便的就是直接运用公式:排队的种数=(2n)!/
15、n!(n+1)!。如果不考虑电影院能否找钱,那么一共有(2n)!/n!n!种排队方法(即从2n 个人中取出 n 个人的组合数),对于每一种排队方法,如果他会导致电影院无法找钱,则称为不合格的,这种的排队方法有(2n)!/(n-1)!(n+1)!(从 2n个人中取出 n-1 个人的组合数)种,所以合格的排队种数就是(2n)!/n!n!- (2n)!/(n-1)!(n+1)! =(2n)!/n!(n+1)!。至于为什么不合格数是(2n)!/(n-1)!(n+1)!,说起来太复杂,这里就不讲了。 【15】一个人花 8 块钱买了一只鸡,9 块钱卖掉了,然后他觉得不划算,花10 块钱又买回来了,11 块
16、卖给另外一个人。问他赚了多少?2 元【16】有一种体育竞赛共含 M 个项目,有运动员 A,B,C 参加,在每一项目中,第一,第二,第三名分别的 X,Y,Z 分,其中 X,Y,Z 为正整数且 XYZ。最后 A得 22 分,B 与 C 均得 9 分,B 在百米赛中取得第一。求 M 的值,并问在跳高中谁得第二名。因为 ABC 三人得分共 40 分,三名得分都为正整数且不等,所以前三名得分最少为 6 分,40=5*8=4*10=2*20=1*20,不难得出项目数只能是 5.即 M=5.A 得分为 22 分,共 5 项,所以每项第一名得分只能是 5,故 A 应得 4 个一名一个二名.22=5*4+2,第二名得 1 分,又 B 百米得第一,所以 A 只能得这个第二.B 的 5 项共 9 分,其中百米第一 5 分,其它 4 项全是 1 分,9=5+1=1+1+1.即 B 除百米第一外全是第三,跳高第二必定是 C 所得.【17