《2013版高中数学全程学习方略配套课件：2.1.2数列的通项公式与递推公式(人教A版必修5)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013版高中数学全程学习方略配套课件：2.1.2数列的通项公式与递推公式(人教A版必修5)（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,【思考】,【点拨】,由递推公式写出数列的项【名师指津】由递推公式写出数列的项的方法.(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可;(2)解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.,【特别提醒】若递推公式涉及数列中相邻的两项，需知道一个具体的项；若递推公式涉及数列中相邻的三项，需知道两个具体的项.,【例1】在数列an中，已知a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n1）写出此数列的前六项.【审题指导】通过观察，此题的递推公式是
2、数列中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项.【规范解答】a1=2，a2=3，a3=3a2-2a1=33-22=5，a4=3a3-2a2=35-23=9，a5=3a4-2a3=39-25=17,a6=3a5-2a4=317-29=33.,【变式训练】已知数列an的第一项是1，以后各项由公式an-1=2an-2给出，写出这个数列的前五项.【解题提示】可先将公式变形为an=1+ an-1.根据递推公式写出数列的前几项，可由a1=1及a2=1+ a1，求出a2这一步是解题的关键.【解析】an-1=2an-2,an=1+ an-1.又a1=1,a2= a3= a4= a5=,由递推公式求通项公式
3、 1.由递推公式写出通项公式的步骤：（1）先根据递推公式写出数列的前几项（至少是前3项）;（2）根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式；（3）写出一个通项公式并证明.,【名师指津】,2用“累加法”求数列的通项公式.当an-an-1=f（n）（n2）满足一定条件时，常用an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（a2-a1）+a1累加来求通项an.【特别提醒】求出通项公式后一定要验证首项是否满足此通项公式.,【例2】已知数列an满足a1=1，an=an-1+ （n2,nN*），写出该数列的前五项以及它的一个通项公式.【审题指导】由a1=1以及递推公式写出前五项，再观察前五项
4、的特点，总结规律，猜想归纳出一个通项公式,可结合 裂项相消法与累加法来证明.,【规范解答】a1=1，a2=a1+ =1+ a3=a2+ a4=a3+a5=a4+ 故数列的前5项分别为1，由于1=数列an的一个通项公式为an=,证明：由an=an-1+ （n2）得an-an-1= （n2）an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（a2-a1）+a1又当n=1时,a1=2- =1也成立.故an=2- （nN*）,【互动探究】若本例中“an=an-1+ （n2,nN*）”改为“an=an-1+2（n2,nN*）”，其余条件不变，又如何求解？【解题提示】由a1=1以及an=an-1+2（n2
5、,nN*）写出前五项，再观察前五项的特点，总结规律，猜想归纳出一个通项公式，再用累加法来证明.,【解析】a1=1，a2=a1+2=1+2=3，a3=a2+2=3+2=5，a4=a3+2=5+2=7，a5=a4+2=7+2=9，故数列的前5项分别为1，3，5，7，9，是连续的奇数，故数列的一个通项公式是an=2n-1（nN*）.证明:由an=an-1+2（n2）得an-an-1=2，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+ （a2-a1）+a1=2+2+2+2+1上述式子中共有（n-1）个2，故an=2（n-1）+1（n2,nN*）,又a1=1=2（1-1）+1也成立，an=2n-1（
6、nN*）.,用累乘法求数列的通项公式【名师指津】累乘法的使用条件和方式.（1）累乘法：当 =g（n）(n2)满足一定条件时，常用an= 累乘.（2）使用累乘法或迭代法要运用函数的运动变化的观点，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以用首项或前几项表示是解题的关键.,【例】设an是首项为1的正项数列，且 求它的通项公式.【审题指导】由题目知 符合 =g（n）的形式且a1=1，利用累乘法求通项即可.【规范解答】an= an=,【变式备选】已知数列an，a1=2，an+1=2an，写出数列的前五项，猜想an，并加以证明.【解析】由a1=2，an+1=2an得a2=2a1=22=4=22，a3=2a
7、2=24=8=23，a4=2a3=28=16=24，a5=2a4=216=32=25，猜想an=2n（nN*）.,证明如下：由a1=2，an+1=2an得an= =222222=2n(nN*).,【典例】（12分）已知数列an满足a1=2，an+1=an+ln（1+ ），写出该数列的前四项并求数列的通项公式.【审题指导】题目中给出a1=2以及递推公式，逐次写出前四项即可，由an+1= an+ln（1+ ）可得an+1-an=ln（1+ ），利用累加法求通项.,【规范解答】a1=2，an+1=an+ln（1+ ），a2=a1+ln（1+1）=2+ln2, 2分a3=a2+ln（1+ ）=2+ln
8、2+ln =2+ln3, 3分a4=a3+ln（1+ ）=2+ln3+ln =2+ln4. 4分可猜想an=2+lnn（nN*）. 5分,由an+1=an+ln（1+ ）可得：an+1-an=ln（1+ ）=ln（ ） 7分an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+（a3-a2）+（a2-a1）+a1=ln +ln +ln +ln +ln +2 9分=ln（ ）+2=lnn+2，11分该数列的通项公式为an=lnn+2（nN*）. 12分,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【即时训练】数列an中，a1=1,an+1= (nN*),则a10=_.【
9、解析】由an+1= 得 累加得 a10=答案：,1.数列an中，a1=-1，an+1=an-3，则a3等于（ ）（A）-7 （B）-4 （C）-1 （D）2【解析】选A.a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.,2.数列0，2，4，6，的递推公式可以是（ ）（A）an+1=an+2 （B）an+1=2an（C）an+1=an,a1=0 （D）an+1=an+2,a1=0【解析】选D.选项A、B中没有明确a1的大小，故选项A、B不是；选项C中，a2=0, a3=0,a4=0,则选项C不是；选项D中，a2=2,a3=4,a4=6,则选项D是.,3.下列数列满足an+1= 的
10、是（ ）(A)1,1,1,1, (B)2,2,2,2,(C)3,1,3,1, (D)-1,1,-1,1,【解析】选A.因为选项A中, a1=1，an+1= 则能依次求出a2=a3=a4=1.,4.已知数列an满足a1= an=(n-1) an-1（n2),则a4=_.【解析】a2=（2-1）a1= a3=（3-1）a2=1，a4=（4-1）a3=3.答案：3,5.已知f(1)=2,f(n+1)= (nN*),则f(4)=_.【解析】f(1)=2,f(n+1)=f(2)= f(3)= f(4)=答案：,6.设数列an满足a1=2，an=2+ （n1,nN*）,试写出这个数列的前四项.【解析】a1=2,an=2+ （n1,nN*），a2=2+ a3=2+ a4=2+,
