第九讲一元微积分的应用

《第九讲一元微积分的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第九讲一元微积分的应用（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第九讲 一元微积分的应用1 函数单调增减性的判别定理：设函数 在 内恒有 （ ） ，则 在 内是单调fx,ab0fxfxfx,ab增的（或单调减的） ，记为： （或 ） 。Z注意：个别点处 不影响 的单调性。0fxfx例： 时 ，但是32,y0y3yxZ应用：一判别单调性：例 1：设函数 在 连续， 。在 内可导， 单调增，fx0,a0fx,afx令 。证明：在 在 内单增。FF,证明： 00fxffxfx拉 氏 定 理 22 0fffxf（ 单调增， ） ； 故在 在 内单增。Qfx0xFx0,a二求单调区间例 2：设 ，求 的单减区间。10xfdtxfx解： ，令 ；ff1当 时， ，所以

2、 单调减；0,1x0fxfx当 时， ，所以 单调增；的单减区间为： 或者 。 fx,1,三证明不等式例 3：证明： 时，122lnxx证明：令： ，则：1F； 211ln2ln2Fxxxx 20， ；xZ 1limxFx， ；F0故 ； 即： 。x221ln0xx2 函数的极值与最值定义：设函数 在 的临域内有定义， 为该临域内异于 的任一点，若yfx0x0x恒有 （或 ） ，则 称为 的极小值（极大值） 。fx0ff极大值与极小值统称为极值。使函数取极值的点为极值点。注意：极值的概念是局部性概念，极大值不一定是区间内的最大值；极大值不一定比极小值大。定义：使 的解，称为 得驻点。0fxfx

3、为 的驻点，不能 为 的极值点； 同样，00f为 的极值点，不能 为 的驻点。xf x例如： 为 的驻点，不能 为 的极值点；3yx3yx为 的极小值点，不能 为 的驻点。0x 0：（取极值的必要条件）设 为 的极值，又 在 处可导，1Th0fxffx0则 。0fx：（取极值的充分条件）设 在 的邻域内可导（在 处 可以2fx00xfx不存在，但必须 在 处连续） ，若：f0 ： ； ： 或 不存在x0xfx0fx为 的极小值；ff ： ； ： 或 不存在x0x0fx0fx0fx为 的极大值；ff 若 在 的两侧不变号，则 不是 的极值。fx00fxf：设 在 的邻域内二阶可导，且 ， 。3T

4、h 0x当 时， 为 的极小值；0fx0fxf当 时， 为 的极大值。极值的求法： 求 ：求出驻点及使 不存在的点，设为 ；fxfxix 利用定理 2 或定理 3 判别 是否为极值点，并判别类型；i 求出极值。最值的求法： 求 ：求出驻点及使 不存在的点，设为 ；fxfxix 求出 ：若 在 连续，也求出 ；if,ab,fab 比较以上所得函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。例 1：设函数 在 的邻域内连续，且 ， ，则在fx00f0lim21cosxf处， ：0f（A）不可导 （B）可导但 f（C）取极大值 （D）取极小值解： 00limli21cos1cosxxfffx， 其中2

5、ff0limx，故答案为 C。01cos0fxfxff例 2：设 为微分方程 的解， ，则在 处yinxyex0x ：fx（A） 的邻域内单增 （B） 的邻域内单减00x（C）取极大值 （D）取极小值解： Q0sinsin 00xxfxfeffe 。故 为 的极小值。故选 C。00sin0fxxe0fxf例 3： 连续，且 ， ，则在 处， ：ff0lim1x0xfx（A）取极大值 （B）取极小值（C） 为拐点 （D） 不取极值也在 处不是拐点0,f f,f解： 当 时，Q0lim1x0xfx:， 在 的邻域内，0f为 的极小值。 故选 B。ffx例 4：设 ，讨论 在 处的极值。00limn

6、xkfx0解： 000linnxffxffkxx，其中 。00ffk0limx 当 时， 为偶数时， ， 为 的极小值；knfxf0ffx 当 时， 为偶数时， ， 为 的极大值；0 当 为奇数时， 不保号， 不是 的极值；0fxf0fxf例 5：求抛物线 到 轴上的定点 的最短距离。24y,Pb解： 2204dxby令： 04 2fyfyfb令 当 时，2b 2,2fy为 的最小值点，也即 的最小值点。ydmin41db 当 时，2b20,0,.yxfyfZ为 的最小值点，也即 的最小值点。yf d。 mindb3 函数图形的凹凸性及拐点定义：设函数 在 上有定义， ，yfx,a12,xab

7、若恒有 （或 ） ，112fff 1212fxff则 在 上为凸的（或凹的） 。fx,ab：设函数 在 上二阶可导，若 （或 ） 。则 的1Thyf, 0fx0fxfx图形在 上为凹的（或凸的） 。,例：设 为连续函数的正函数，令 。判别 在xafxtdafx上的凹凸性。,a解： xaaaxfxtdtdttx xt d aa xft tx xaxdt（ 为正函数） 20fQ故： 的图形在 上为凹的。x,ab定义：函数 的图形凹凸的分界点称为 的拐点。yfyfx：设函数 在 的邻域内二阶可导，在 处 可不存在，但必2Thx0 0fx须 连续。若 在 处的邻域内变号，则 为拐点；若ffx,在 处的

8、邻域内不变号，则 不是拐点。x00,fx：设函数 在 的邻域内三阶可导，且 ， ，则3Thyfx0 0f0fx为拐点。 0,x4 渐近线一一 水平渐近线设 ，若 或者 ，则yfxlim,lixxfafblimxfc或者 称为 的水平渐近线。,abyc若极限中含有 或者 ，求 时的极限，一定要分别求rtan,tg,xe2mnPx出 和 时的极限。x例如： 为 的水平渐近线。2arctnx,2yarctnyx一一 铅直渐近线设 ，若 或者 ，或者 则yfx0lim,xf0limxf0lim,xf为 的水平渐近线。0铅直渐近线的求法： 求出使 没有定义的点 ；fxix 由铅直渐近线的定义进行检验。一

9、一 斜渐近线设 ，若 则 为 的yfxlim,lixxfkbfkxybyfx斜渐近线。可以看出，若 为 的有理分式函数，则仅当 的分子关于 的最高次数比f fx关于 的最高次数恰好大于 1 时，才有斜渐近线。fx例：求 的斜渐近线。32xf解： ；321limlixxfkx；3 22 99lili lim431xx xxbfk 故斜渐近线为： 。94y例 1：求 的渐近线。123arctnxxef解：先求水平渐近线：； 1232limliarctnxxxef ；12liliarctxxxef和 为 的水平渐近线。yfx再求铅直渐近线使 没有定义的点为： 。fx1,0x；2113limliarc

10、tnxxxef；1200liliarctxxxef。12113limliarctnxxxef由上可知： 为 的斜渐近线。,0fx再看有无斜渐近线，所以没有斜渐近线。0lixf例 2：求 的斜渐近线。30yax解： 。limlixxfyk令 代入方程得：yt232330,1atttxatxy；1xt；limlityk；3 2211133lililimlimxt t tatatatbfx故斜渐线为： ，即 。y0y5 方程根的研究一一 方程根的存在性证明方程根的存在性的证明通常是转化为相应函数 零值的存在性的证明。fx证明：用 零值定理；洛尔定理。例 1：设 在 上连续， ，又 。fx,ab0fa

11、fb0fab证明： 一个 ，使 。证明：不妨设 ，则： 。0ff，0limlim0faxaxff 由极限的保号定理， 一个 。当 时， ；11,a0fxfxa取一个 ，使 ；11,xa10fx同理：，0limlimfbxbxfff 由极限的保号定理， 一个 。当 时， ； 22,b0fxfxb取一个 ，使 ；22,xb20fx可知，在 上或者 上满足零值定理，故 一个 ，使 。f12,21, ,ab0f一一 关于方程根的个数的研究解题程序： 转化为相应函数 零值个数的研究；fx 求 。求出驻点和使 不存在的点，得出单调区间及极值或最值。fxfx 分析 的极值或最值与 轴的相对位置，有时为了使问

12、题更明朗，还要求出区间端点的极限值。例 2：求方程 在 内实根的个数。0ln1cos2xxde0,解： 0 01cos2insindxd ；0ics|xx令 ，则 ；lnFe1Fe令 ；0xx0,e,FxZ2Fe由表可知： 在 与 分别至多有一个零点。0,e,。 。Q2Fe0lim,lixx可知， 在 与 分别至少有一个零点。,e,在 内 有两个零点，即方程有两个实根。0,一一 关于方程根的存在唯一性的证明要证明两点： 利用单调性证明相应的函数 至多有一个零值；fx 利用零值定理或洛尔定理证明 至少有一个零值。综上所述，命题得证。例 1：设 在 内连续，在 内可导， ，又 。fx,a,a 0fxk0fa证明 在 内有且仅有一个实根。0f,fk证明：由拉式定理有： ，其中，fafaffk。faak又 Qfx。 0afaff fafkk故在 内至少有一个零值。,f又 ，故 在 内至多有一个零值。Q 0fxkfx