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1、2.2.2 圆的一般方程222 圆的一般方程一、三维目标1、知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径掌握方程 x22DxEF=0 表示圆的条(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法求圆的方程。(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。2、过程与方法：通过对方程 x22DxEF=0 表示圆的条的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。3、情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。二、教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准
2、方程间的互化，根据已知条确定方程中的系数，D、E、F教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 三、教学方法：学导式四、教学过程（一） 、题引入问题：求过三点 A（0，0） ，B（1，1） ， （4，2）的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的方程的另一种形式圆的一般方程。（二） 、探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(xa)2( b)2=r2，圆心(a，b)，半径 r把圆的标准方程展开，并整理：x222ax 2ba2 b2r2=0取 得 这个方程是圆的方程反过给出一个形如 x22
3、DxEF=0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把 x22DxEF=0 配方得 (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当 D2E24F0 时，方程表示（1）当 时，表示以（- ，- ）为圆心, 为半径的圆；（2）当 时，方程只有实数解 ， ，即只表示一个点（- ，- ） ；（3）当 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程 表示的曲线不一定是圆 只有当 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如 的表示圆的方程称为圆的一般方程 我们看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1) x2 和 2 的系数相同，不等于 0没有 x 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D
4、、 E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。（三） 、知识应用与解题研究例 1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 学生自己分析探求解决途径：、用配方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于 说，这里的例 2：求过三点 A（0，0） ，B （1，1） ， （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：据已知条，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条恰给出
5、三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 解：设所求的圆的方程为： 在圆上，所以它们的坐标是方程的解把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于 的三元一次方程组，即 解此方程组，可得： 所求圆的方程为： ； 得圆心坐标为（4，-3）或将 左边配方化为圆的标准方程， ,从而求出圆的半径 ，圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：根据提议，选择标准方程或一般方程；根据条列出关于 a、b、r 或D、E 、F 的方程组；解出 a、b、r 或 D、 E、F，代入标准方程或一般方程。例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（4，3） ，端点 A 在圆上 运动，求线段 AB 的中点的轨迹方程。分析：如图点 A 运动引起点运动，而点 A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程 。建立点与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点的坐标满足的条，求出点的轨迹方程。 解：设点的坐标是（x,）,点 A 的坐标是 上运动，所以点 A 的坐标满足方程 ,即 把代入，得（四） 、堂练习：堂练习 第 1、2、3 题（五） 、小结 ：1对方程 的讨论(什么时候可以表示圆) 2与标准方程的互化 3用待定系数法求圆的方程 4求与圆有关的点的轨迹。（六） 、后作业： 习题 41 第 2、3、6 题五、教后反思：
