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1、第二十讲 应用问题的算术解法与代数解法从小学到中学，数学课程最显著的变化，就是从算术学习到代数和几何的学习仅就代数来说，它的基本课题是着眼于利用运算来讨论各种数学问题从发展的角度看，代数学是在“数”与“运算”的基础上有系统地发展起来的首先扩大了数的范围，从正整数、正分数和零发展到有理数、实数；其次，在用字母表示数的基础上，应用“运算律” 解代数方程和研究代数式由于在常见的数量关系中，可以说应用问题是最基本的讨论对象，因此，在小学和中学的数学课中，都有解应用问题这一内容只不过在小学是用“算术解法” ，而在中学是用“代数解法”下面举几个典型实例，来比较一下这两种解法的不同，从而进一步体会代数解法的
2、优越性 例 1 某农场计划播种小麦与大豆共 138 公顷，种小麦的面积是种大豆面积的 4 倍试问该农场应种小麦与大豆各多少公顷？算术解法 由本题所给的条件可知，播种总面积等于种大豆面积的(4+1) 倍，因此种大豆的公顷数=总播种公顷数(4+1)，种小麦的公顷数=总播种公顷数-种大豆的公顷数，即138(4+1)=27.6(公顷)，138-27.6=110.4(公顷) 即应种大豆 27.6 公顷，小麦 110.4 公顷代数解法 用一个字母 x 表示要求的一个未知量，例如，设种大豆 x 公顷；再由题目的条件可知，种小麦 4x 公顷因此，只要根据关系式总播种公顷数=种小麦公顷数+种大豆公顷数和已知条件
3、“总公顷数为 138”，就可以直截了当地写出以下等式 (含有未知数的等式，也叫方程)4x+x=138由于 x 是一个未知数，但它终归是一个数，所以可以对它应用运算律为此，我们对上式做如下变形(4+1)x=138，即 5x=138 两边同除以 5，得x=27.6(公顷)从而 4x=4 27.6=110.4(公顷)即种大豆 27.6 公顷，种小麦 110.4 公顷比较分析 本题的算术解法中，要求对题意进行思考，先求得解决问题的公式，然后再逐步地对公式中的计算找出解释的理由，从而作出解答而代数解法，只要求用字母 x 表示待求的未知量，再考虑待求的未知量 x 与已知数量之间的关系，然后直截了当地列出一
4、个等式，再应用运算律(或等式的基本性质 )，求出这个未知数 x 应取的数值，使问题得到解决例 2 鸡兔同笼共有 56 个头，160 只脚，试问鸡、兔各多少只？算术解法 这是一个古老而有趣的数学问题，由于思考方法不同，可有不同的解法，以下是较为简单的解法由于已知鸡、兔共 160 只脚，如果我们假定每只兔抬起 2 只脚，每只鸡抬起一只脚，则落地的脚是 160 只的一半，即 80 只脚这 80 只脚中鸡的脚数与头数相等因此，兔数为：80-56=24(只) ；鸡数为：56-24=32(只) 代数解法 设兔为 x 只，则鸡为(56-x)只，兔的脚数为 4x，鸡的脚数为 2(56-x)，又由已知条件，鸡兔
5、一共有 160 只脚，可列出方程4x+2(56-x)=160去括号4x+112-2x160 ，合并同类项4x-2x160-112 ，即 2x=48，所以 x=24(只)兔数从而 56-24=32( 只)鸡数比较分析 本题算术解法中，根据题设特点，利用了一个特殊技巧，即鸡、免各抬起一半脚，然后依据其余脚数中，鸡的脚数与头数一一对应关系，得到解答这种解法虽然有效，但不具有一般性，这也是算术解法的一个弱点，即一个问题一种解法，缺乏一般的通用性而代数解法则不同，在本题中，只须用一个字母 x 代表兔(或鸡) 的数量，然后便可根据已知条件，顺理成章地找出等量关系，列出方程下一步解方程求未知数 x 的值，只
6、是进行变形和运算，不需要什么特殊技巧因此，代数解法具有一般性，这也是它优于算术解法之所在在前面的两例中，虽然比较分析了应用问题的算术解法和代数解法的特点，但对两者的联系未作进一步的探讨，下面通过例 3，初步讨论一下这个问题例 3 设有 5 元和 10 元的人民币共 12 张，共计 85 元，问其中 5 元、10 元的人民币各几张？算术解法 假如全部是 5 元的人民币，则共计512=60(元)，与总和相差85-60=25(元)现在让我们逐次用一张 10 元的票子去换一张 5 元的票子，使得总张数保持不变，每换一次，总值将增加10-5=5(元)那么换几次才能补足总差额 25 元呢？这只要做一次除法
7、就行了，即 255=5所以答案是10 元人民币的张数=(85-60)(10-5) =2555 5 元人民币的张数=12-5=7代数解法 设 10 元人民币的张数为 x，则 5 元人民币的张数为 (12-x)，其中 x 是一个待求的未知数，在此它只是 10 元人民币张数的简写，利用上述未知数符号，根据10 元人民币的总元数+5 元人民币的总元数=85，则可写出下列方程10x+5(12-x)=85 以下的工作便是用“运算律”和“等式的性质”解出方程的 x 值，就可得到解答了用分配律，去掉中之括号，得10x+512-5x85，由交换律、分配律得(10-5)x+6085，由等式性质，两边同减 60，得
8、(10-5)x=85-60，等式两边同除以(10-5)，得x=(85-60) (10-5)=5 比较分析 在代数解法中，我们先引进一个未知数 x，表示问题中待求的量(如 10 元人民币的张数)，然后把未知数代入问题中，列出方程，再用运算律和等式的性质，求出方程中未知量 x 的值在本例中，方程的解就是式x=(85-60)(10-5)=5容易看出，算术解法其实就是上面由代数方程所得的求值公式，然后对于公式中的每一步进行计算：60=512，85-60=25，10-5=5，(85-60)(10-5)255=5并对每一步计算找出合适的理由加以解释就是了同学们可能会问，在算术解法中，怎么会发现求值公式呢？
9、对这个问题的回答，大体有两种可能：第一种可能是先用代数解法，由求得公式，但由于小学还没有学习代数，所以只好耐心地对式中的每一步计算，结合题意加以解释，使同学们了解算术解法的合理性第二种可能是对上述实际问题，做了一番归纳的工作，就是：假如 12 张人民币都是5 元的，则 125=60；假如 11 张为 5 元，1 张为 10 元，则 115+10=65；假如 10 张为5 元，2 张为 10 元，则 105+210=70；以此类推，不难发现当 10 元人民币的张数由0 逐次加 1 时，总金额由 60 开始逐次加一个 5，而式就是这个意思把两种解法加以比较可以看出，算术解法的准备工作，对于给定类型
10、的问题，先做一番实验归纳工作，从而求得解决该类问题的公式，或合理的有顺序的计算步骤，然后还要逐步对公式中的计算找出理由加以解释显然，这样做是缺乏普遍性的而代数解法的准备工作是引入未知数符号，把问题中的数量关系，特别是等量关系用代数方程表示出来，然后再利用“运算律”和“等式性质”，求出方程中未知量应有的值，所以代数解法直截了当、简捷明快，具有高度普遍性一般说来，算术解法的公式和理由，由问题的类型不同而不同但代数解法的基本原理就是有效地利用了“运算律”和“等式性质”，所以这种解法不仅具有普遍性，也具有统一性例 4 有两个图书馆，自建馆以来，每年各进图书 5 千册，如果今年甲馆藏书 23 万册，乙馆
11、藏书 11 万册，今后仍然是每年各进图书 5 千册，试问由今年起，什么时候甲馆藏书是乙馆的 3 倍？下面用代数解法来解本题，以便从中进一步体会它的普遍性解 设由今年起 x 年后甲馆藏书是乙馆的 3 倍，则有代数方程(23+0.5x)=3(11+0.5x)利用分配律得23+0.5x=33+1.5x，两边同减 0.5x 得23=33+1.5x-0.5x，两边同减 33 得23-33=1.5x-0.5x，利用分配律得23-33=(1.5-0.5)x， -10 x，即 x=-10这就是说从今年起，10 年前甲馆藏书已是乙馆藏书的 3 倍由此可见，代数解法，由于用字母表示了数，所以对所求的结果用正、负数
12、的意义加以解释，就得到了这一问题的答案这也就说明了代数解法比算术解法更具有普遍性练习二十1试用代数解法解下列应用题，再思考一下用算术解法怎么解？(1)一个公司把它存货的 60用现金出售，25用记账出售， 15用支票出售如果支票出售的钱比记账出售的钱少 4000 元，那么现金出售的钱是多少？(2)有糖块若干，要分给班上的同学，如果每人 4 块，则余 14 块，如果每人 5 块，则又少 15 块，试问班上共有多少人？共有多少块糖？2制造一种零件第一道工序每人每小时可做 5 件，第二道工序每人每小时可做 3 件，现在有工人 40 人，如何分配劳动力才能使生产配套？3某生产队春播 2000 公顷小麦，每天比预计多播 50 公顷，因此提前 2 天完成，求实际播种天数4木梁重 90 千克，比木梁长 2 米的铁梁重 160 千克，已知每米木梁比铁梁轻 5 千克，求两根梁的长
