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1、搭 n 个正方形需要多少根火柴棒？搭 1 个正方形需要 4 根火柴棒。(1)按上图方式，搭 2 个正方形需要根火柴棒，搭 3 个正方形需要根火柴棒。(2)搭 10 个这样的正方形需要多少根火柴棒？(3)搭 100 个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？(4)如果用 n 表示所搭正方形的个数，那么搭 n 个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴进行交流。(5)根据你的做法，搭 200 个这样的正方形需要多少根火柴棒？摘自北京师范大学出版社七年级数学上册第 102 页字母能表示什么。分析：这个问题具有普遍性，在教材或其它学习资料上我们也发现了许多跟这类似的问题。解决这类问题的思路基本上是一
2、样的，就是先从特殊性问题归纳出一般性结论，然后再从一般性结论求出更复杂的特殊性问题。有了解决这类问题的普遍性思路，我们也就有了解决上面这 4 个问题的思路，那就是先数出前几个图形各用了多少根火柴棒，再根据每个图形所用火柴棒的数目归纳出一般性结论，并总结计算公式，最后再用这个公式求出搭 100 个这样的正方形需要的火柴棒的数目。通过观察上面的图形，我们发现：搭二个正方形比搭一个正方形多用了 3 根火柴棒；搭三个正方形比搭二个正方形多用了 3 根火柴棒；搭四个正方形比搭三个正方形多用了 3 根火柴棒；搭五个正方形比搭四个正方形多用了 3 根火柴棒；分析我们的发现，得出这样一条规律，那就是后面的图形
3、总是比前面的图形多用了 3 根火柴棒。下面我们先看看教材中的小朋友是怎样从这个规律中归纳出一般性结论的。(1)小明的做法第 1 个正方形用了 4 根火柴棒；第 2 个正方形用了 4 31 根火柴棒；第 3 个正方形用了 4 32 根火柴棒；第 4 个正方形用了 4 33 根火柴棒；第 5 个正方形用了 4 34 根火柴棒；第 n 个正方形用了 4 3(n1)根火柴棒。学过等差数列的同学都知道，等差数列的通项公式 an=a1(n1)d。而“ 小明的做法”中搭 n 个正方形正好就是一个以 4 为首项，以 3 为公差的等差数列，这也正体现了“数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的一门科学，是数与形
4、的统一。”这一辩证唯物主义观点。所以，本题也可以根据“小明的做法”直接由等差数列的通项公式得到搭 n 个正方形需要的火柴棒数，即 ana 1(n1)d43(n 1)。(2)小彬的做法将 n 个正方形分成上边、下边和竖边，其中上边和下边各用了 n根火柴棒，竖边用了 n1 根火柴棒，因此，可知搭 n 个正方形共用了nn (n 1)根火柴棒。(3)小颖的做法把每个正方形都看成是由 4 根火柴棒搭成的，按照这种思路，从第 2 个正方形起，每个正方形都比实际多用了 1 根火柴棒，搭 n 个正方形就比实际多用了 n1 根火柴棒，所以，搭 n 个正方形实际用的火柴棒的数目应该是 4n (n1)。(4)小刚的
5、做法第 1 个正方形用了 1 31 根火柴棒；第 2 个正方形用了 1 32 根火柴棒；第 3 个正方形用了 1 33 根火柴棒；第 4 个正方形用了 1 34 根火柴棒；第 5 个正方形用了 1 35 根火柴棒；第 n 个正方形用了 1 3n 根火柴棒。评价：小明的做法：43(n1)3n 1小彬的做法：nn (n1)3n 1小颖的做法：4n(n 1)3n 1小刚的做法：13n 3n1比较四个人的四种做法得到的代数式，我们发现他们的答案是一样的，只是思考问题的方法不一样。那么，究竟谁的做法更好一些呢？本人认为，各人有各人思考问题的方法，无所谓方法的好坏，解决问题的方法只是各人思考问题的习惯不同或是对问题的直觉感应不同而选取的方法不同而已。如果一定要分出个胜负，本人还是比较欣赏“小刚的做法”，因为他的这种思路最直接，一步就能给出答案，而且项数n 正好就是从 1 起的自然数列，让人看了一目了然，并且还能对类似的问题能起到举一反三的作用。不知说的对不对，说的不对或不到的地方还有待于各位老师或爱好者能利用闲暇时间给予斧正或指导。
