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1、实验一 信号及系统的谱分析学号 110404130 姓名 季克宇注：1）此次实验作为数字信号处理课程实验成绩的重要依据，请同学们认真、独立完成，不得抄袭。2）请在授课教师规定的时间内完成；3）完成作业后，请以 word 格式保存，文件名为：学号 +姓名4）请通读全文，依据第 2 及第 3 两部分内容，认真填写第 4 部分所需的实验数据，并完成实验分析。1. 实验目的(1) 熟练利用 DFT 计算公式对信号进行谱分析， 加深 DFT 算法原理和基本性质的理解。(2) 利用卷积方法计算信号经过离散系统输出响应，并观察输出信号的频谱变化。(3) 熟悉 FFT 算法原理和 FFT 子程序的应用，掌握利
2、用函数 fft.m 对离散信号及系统响应进行频域分析。 (4) 理解并掌握利用 FFT 实现线性卷积的方法。了解可能出现的分析误差及其原因， 以便在实际中正确应用 FFT。2. 实验原理与方法1）离散傅里叶变换（DFT）的基本原理离散傅里叶变换（DFT）是分析有限长序列频谱成分的重要工具，在信号处理的理论上有重要意义。由于其可以在计算机上实现谱分析、 卷积、相关等主要的信号频谱分析过程，因此 DFT 的快速算法得到了广泛的应用。实现 DFT 的基本计算公式如下：2）系统响应信号的时域分析（卷积运算）离散信号输入离散系统后，若系统起始状态为 0，则系统的响应输出是其方框图表示如下：图 11010
3、)()()( NknkNnnkWXXIDFTnxxxkXxn zsynhnx离散系统h（n）zsynhxn在 matlab 中 计算卷积的函数为 y=conv(x,h)。3）FFT 实现线性卷积的快速计算设一离散线性移不变系统的冲激响应为 ，长度为 L 点；其输入信号为 ， 长度为 M 点；其输出为 ，长度为 M+L-1 点。 当满足一定条件 时，有限长序列的线性卷积可用圆周卷积和来代替，而圆周卷积可用 FFT 来计算，从而可以大大提高运算速度。用 FFT 实现线性卷积计算的具体步骤：(1)有限长序列 和 补零值点,至长度为大于或等于 M+L-1 点，且为 ，r 为整数。(2)求 ，N 点 D
4、FT，用 FFT 快速算法实现 ;(3)求 ，N 点 DFT，用 FFT 快速算法实现;(4)计算 ; (5)求 N 点 IDFT，用 IFFT 快速算法完成。3. 实验内容及步骤某系统的单位样值响应为 ，信号 x(n)=1 0 2 4 输入该系统后，输出的响应信号为 y(n)。请认真复习离散信号与系统、 线性卷积、 序列的傅里叶变换及性质等有关内容， 阅读上述实验原理与方法，编制 2 个程序文件完成如下 2 部分实验内容。一） 利用函数 y=conv(x,h)求解响应信号 y(n)（流程图见图 2）要求：a）利用函数 y=conv(x,h)求解响应信号 y(n)；b) 利用 DFT 的计算公
5、式对 x(n),h(n)和 y(n)DFT 计算；在第一个图形框内给出 x(n)的波形图和频谱图 X(K)，在第二个图形框内给出 h(n)的波形图和频谱图 H(K)，在第三个图形框内给出 y(n)的波形图和频谱图 Y(K)；在第四个图形框内给出 X(K),H(K)和 Y(K)的频谱图，并分析这 3 张频谱图的关系。c) 给出程序内容d) 统计程序运行时间 t1。hn xnzsynhx1NMLhnxn 2r()()HKDFThnXx()()YHKynIFT6(0.9)()nhR开始写入序列 hn；调用子程序 dft.m 计算 hk写入序列 xn；调用子程序 dft.m 计算 xk调用子程序 co
6、nv.m计算 yn, 调用子程序 dft.m 计算 yk,相关作图语句结束图 2注意： a）dft.m 为学生自己编写的自定义函数文件，根据 DFT 运算的计算公式完成xk=DFT（xn）功能，xk 为时间序列 xn 的 DFT 变换 xk。b）dft.m 可参考 教材 P117 的例题 3-6 自行理解并修改为函数文件二） 利用 FFT 实现线性卷积计算（流程图见 图 3）要求：a）利用 FFT 实现线性卷积计算的步骤编写程序求解 y(n)在第一个图形框内给出 x(n)的波形图和频谱图 X(K)，在第二个图形框内给出 h(n)的波形图和频谱图 H(K)，在第三个图形框内给出 y(n)的波形图
7、和频谱图 Y(K)；在第四个图形框内给出 X(K),H(K)和 Y(K)的频谱图，并分析这 3 张频谱图的关系。c) 给出程序内容d) 统计程序运行时间 t2。图 34. 实验数据及分析实验数据：1）利用函数 y=conv(x,h)求解响应信号 y(n)a) Xk =7.0000 -1.0000 + 4.0000i -1.0000 - 0.0000i -1.0000 - 4.0000i开始计算 fft 运算所需点数 N写入序列 xn 和 hn调用子程序 fft.m 计算 xk 和 hk相关作图语句结束计算 yk=xk.hk调用子程序 ifft.m 计算 ynHk =4.6856 0.2832
8、- 0.4013i 0.2507 - 0.1348i 0.2466 - 0.0000i 0.2507 + 0.1348i 0.2832 + 0.4013iyn =1.0000 0.9000 2.8100 6.5290 5.8761 5.2885 4.2282 3.8054 2.3620Yk =Columns 1 through 7 32.7991 -11.2223 - 0.2735i -1.4760 + 4.1504i 1.2362 - 0.1048i -0.4375 - 1.5537i -0.4375 + 1.5537i 1.2362 + 0.1048iColumns 8 through 9
9、 -1.4760 - 4.1504i -11.2223 + 0.2735i0 1 2 300.511.522.533.540 1 2 3012345670 2 4 600.20.40.60.811.21.40 2 4 600.511.522.533.544.550 5 10012345670 5 10051015202530350 2 4012345670 5 1000.511.522.533.544.550 5 1005101520253035分析：c) 程序内容：（包括主程序和子程序 dft.m）function Xk = dft(xn)N=length(xn);n=0:N-1;k=0:N
10、-1;Xk=xn*(exp(-j*2*pi/N).(n*k);clear all;clc;close;tic;n=0:3;xn=1 0 2 4;Xk = dft(xn)k=0:5;hk = (0.9).k+eps);Hk = dft(hk)yn=conv(xn,hk)Yk=dft(yn)toc;figure(1);subplot(1,2,1);stem(n,xn)subplot(1,2,2);stem(n,abs(Xk)figure(2);subplot(1,2,1);stem(k,hk)subplot(1,2,2);stem(k,abs(Hk)figure(3);subplot(1,2,1)
11、;stem(yn)subplot(1,2,2);stem(abs(Yk)figure(4);subplot(1,3,1);stem(abs(Xk)subplot(1,3,2);stem(abs(Hk)subplot(1,3,3);stem(abs(Yk)d) 运行时间 t1=0.015000 seconds2）利用 FFT 实现线性卷积计算a)Xk =7.0000 -1.0000 + 4.0000i -1.0000 -1.0000 - 4.0000iHk =4.6856 0.2832 - 0.4013i 0.2507 - 0.1348i 0.2466 0.2507 + 0.1348i 0.28
12、32 + 0.4013iyn =1.0000 0.9000 2.8100 6.5290 5.8761 5.2885 4.2282 3.8054 2.3620Yk =Columns 1 through 7 32.7991 -11.2223 - 0.2735i -1.4760 + 4.1504i 1.2362 - 0.1048i -0.4375 - 1.5537i -0.4375 + 1.5537i 1.2362 + 0.1048iColumns 8 through 9 -1.4760 - 4.1504i -11.2223 + 0.2735i按要求给出相关的图形0 1 2 300.511.522.
13、533.540 1 2 3012345670 2 4 600.20.40.60.811.21.40 2 4 600.511.522.533.544.550 5 10012345670 5 10051015202530350 2 4012345670 5 1000.511.522.533.544.550 5 1005101520253035分析：c) 程序内容：（包括主程序和子程序 dft.m）clear all;clc;close;tic;n=0:3;xn=1 0 2 4;Xk = fft(xn)k=0:5;hk = (0.9).k+eps);Hk = fft(hk)yn=conv(xn,hk
14、)Yk=fft(yn)toc;figure(1);subplot(1,2,1);stem(n,xn)subplot(1,2,2);stem(n,abs(Xk)figure(2);subplot(1,2,1);stem(k,hk)subplot(1,2,2);stem(k,abs(Hk)figure(3);subplot(1,2,1);stem(yn)subplot(1,2,2);stem(abs(Yk)figure(4);subplot(1,3,1);stem(abs(Xk)subplot(1,3,2);stem(abs(Hk)subplot(1,3,3);stem(abs(Yk)e) 运行时间 t2=0.007000 seconds实验分析：1 ) 若二）中 FFT 的点数 N 取值比 L+M-1 小，则实验结果是否正确，为什么？2） 比较一）和二）两种方法所得结果 y(n)长度是否相同，为什么？3） 比较运行时间 t1 和 t2，给出两者数值不同的主要原因。解：1）不正确，fft 运算当满足 L+M-1 时，有限长序列的线性卷积可用圆周卷积和来代替，否则波形会产生失真。 2）不相同，fft 运算的长度应为 2 的 L 次方，长度 N=8dft 运算的长度。 3）当满足一定条件 L+M-1 时，有限长序列的线性卷积可用圆周卷积和来代替，而圆周卷积可用 FFT
