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1、摘要：MATLAB 最主要的特色就是数值计算能力，它可以方便地实现用户所需的各种计算功能。而科学研究中常见的微分方程也可以用 MATLAB 来求解。关键词：MATLAB；微分方程一、背景分析MATLAB 是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言，着重针对科学计算、工程计算、和绘图的需求。MATLAB 提供了大量的计算函数和实用的工具箱。其拥有 600 多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而且经过了各种优化和容错处理。在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如 C 和 C+ 。在计算要求相同的情况下，使用 M
2、ATLAB 的编程工作量会大大减少。MATLAB 的这些函数集包括从最简单最基本的函数到诸如矩阵，特征向量、快速傅立叶变换的复杂函数。函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。而用来代替人们求出复杂的微分方程也是可以办到的。二、微分方程的解析解求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(方程 1, 方程 2,方程 n, 初始条件, 自变量)记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分， D2、D3 等
3、，表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省.例如，微分方程 应表达为：D2y=0.例 1 求 的通解.21udt解 输入命令：dsolve(Du=1+u2,t)结 果：u = tg(t-c)例 2 求微分方程的特解.15)0(,2942ydx解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结 果 为: y =3e-2xsin（5x）三、微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精
4、确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。 。,y的 相 应 近 似 值 )(, ),y(x求 出 准 确 值 ，值 处 ， 即 对的 若 干 离 散 的 开 始 其 数 值 解 是 指 由 初 始 点 ，)(xf：对 常 微 分 方 程 212 10 00nn nxy xLL （二）建立数值解法的一些途径 01i )y(xf, 解 微 分 方 程 ：可 用 以 下 离 散 化 方 法 求1,20x设 nihL1、用差商代替导数若步长 h 较小，则有： hxyxy)()(故有公式： 1-n,02i )(,001 Lxyhfiii此即欧拉法。2、使用数值积分对方程 y=f(x,
5、y), 两边由 xi 到 xi+1 积分，并利用梯形公式，有： )(,)(,2)(,)( 1111 iiixii xyfxyfdtyfyxi故有公式： )(),(),200 11xyyxfyhiiii实际应用时，与欧拉公式结合使用： L,210 ),(),2(1)1(0 kyxfyhyfiiiki当 满 足，对 于 已 给 的 精 确 度 1kk取时 ， ，y）1（1iki的计算。然 后 继 续 下 一 步 2iy此即改进的欧拉法。3、使用泰勒公式以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。4、数值公式的精度当一个数值公式的截断误差可表示为 O（h k+1）时（k 为正整数，h 为步长）
6、 ，称它是一个 k 阶公式。k 越大，则数值公式的精度越高。 欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。（三）用 Matlab 软件求常微分方程的数值解t，x =solver（ f,ts,x0,options）|：注意:1、在解 n 个未知函数的方程组时，x 0 和 x 均为 n 维向量，m-文件中的待解方程组应以 x 的分量形式写成 .2、使用 Matlab 软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.例 4 0)(;2)0(12xdtdt 解: 令 y 1=x，y 2=y1则微分方程变为一阶微
7、分方程组：自变量值函数值ode45 ode23 ode113ode23：组合的 2/3 阶龙格-库塔- 芬尔格算法ode45：运用组合的 4/5 阶龙格-库塔- 芬尔格算法由待解方程写成的m-文件名ts=t0，t f，t0、 tf 为自变量的初值和终值函数的初值用于设定误差限(缺省时设定相对误差 10-3, 绝对误差 10-6),0)(,2)0(1122yy1、建立 m-文件 vdp1000.m 如下：function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取 t0=0，t f=300
8、0，输入命令：T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3、结果如图例 5 解微分方程组 1)0(,)(,0)(5.321213321yy解 1、建立 m-文件 rigid.m 如下：function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取 t0=0，t f=12，输入命令：T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、结果如图图中，y 1的图形为实线，y 2的图形为“*”线，y 3的图形为“+”线.
