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1、1第 4 章 有限体积法4.1 积分方程守恒方程的形式为积分方程。（ 4-1 ） SS qSdgraddnnv4.1 控制体积求解区域用网格分割有限个控制体积（Control Volumes, CVs） 。同有限差分不同的是，网格为控制体积的边界，而不是计算节点。为了保证守恒，CVs 必须是不重叠的，且表面同相邻 CVs 是同一个。i. 节点为中心CVs 的节点在控制体积的中心。先定义网格，任何找出中心点。优点：节点值代表CVs 的平均值，可达二阶精度。ii. 界面为中心CVs 的边界线在节点间中心线上。先定义节点，再划分网格。优点：CV 表面上的 CDS 差分精度比上面方法高。两个方法基本一
2、样，但在积分时要考虑到位置。但第一个方法用得比较多。4.2 表面积分近似通过表面的总通量（net flux ）节点为中心 界面为中心2（ 4-2 ）kSSfdf对流： 在垂直于界面的方向nvf扩散： 在垂直于界面的方向grad如果速度也是未知的，则要结合其它方程一起求解。考虑界面 e，通过表面的总通量为：1. 基于界面中心值中间点定理：(midpoint rule)表面积分为格子表面上的中心点的值和表面积的乘积。（ 4-3 ）eeSeSffdFe此近似为 2 阶精度。由于 f 在格子界面没有定义值，它必须通过插值来得到。为了保证原有的 2 阶精度，插值方法也须采用 2 阶精度的方法。2. 基于
3、界面顶角值当已定义角上的值时，2 阶精度的方法还有：（ 4-4 ）eSseneffdF23. 高阶精度近似（ 4-5 ）eS senefffdF464 阶精度 Simpson 法。4.3 体积积分近似（ 4-6 ）PPqqdQqp 为 CV 中心节点值。高阶精度要求为节点的插值或形状函数来表示。如 。然后对体积积分。),(),(yxf34.4 插值方法4.4.1 上风插值格式（UDS ）e 用 e 上游（upstream）上的值，通过 1 阶向前差分或向后差分来表示。（ 4-7 ）0)(;ewPnvif此方法为唯一的无条件满足边界准则的近似，即不产生振荡解。但它的数值扩散效应很大。从 Tayl
4、or 展开：（ 4-8 ）HxxxPPePePe 2它取得的是第一项，因此，精度是 1 阶的。它的截断误差为扩散项。即（ 4-9 ）edexf此系数为数值的，人工的，伪的。 。 。（ 4-10 ）2/uenme此扩散产生在垂直于流动方向或在流线方向。为特别严重的误差。尤其对于有峰值或有较大变化的变量，会使值光滑，要得到精确的解，需要很精细的网格。4.4.2 线性插值格式（CDS ）（ 4-11 ）ePeEe1为线性插值因子。定义为：（ 4-12 ）,PEex用 Tayler 展开可得到此方法的截断误差：4（ 4-13 ）HxxPeEPePeEe 21为 2 阶精度。和其它所有高精度一样，会发生
5、数值振荡。假定线性分布，则在 e 点的导数可以表示成：（ 4-14 ）PEexx如 e 在两点的中央时，为 2 阶精度。4.4.3 二次迎风插值（QUICK）格式Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics用抛物线（2 次）分布代替线性（1 次）分布。抛物线需要 3 点。这第 3 点取在上风点上。对于 E 点，当 u0，取 W，当 u2)和 CDS(Pe2)的选择4.5 边界条件的使用每个 CV 提供一个代数方程。但是对于在边界上的格子，表面通量要另行处理。表面通量要求已知，或与内部和边界上的值的关系已知。也许不一定要引进其它
6、附加的未知数。由于在区域外已无节点，这些近似因基于单边的差分或外推。4.5.1 对流通量 流入（inflow）边界：对流通量； 无穿透壁面和对称平面上：零通量。 流出（outflow）边界：垂直此方向的通量是独立的。此时，使用上游值。4.5.2 扩散通量 壁面：有时定义，如壁面热流密度。使用单边近似方法在已知通量的条件下，则可用于计算边界的值。4.6 代数方程系统同差分方法一样。4.7 例子4.7.1 传输方程（ 4-19 ）SSSndgradnv边界条件：对流项：for face e:inletoutlet(1,1)xySymmetry, 0y(0,0)0wallyconst.xy06（ 4-20 ）eScFdnv（ 4-21 ）yudSmexSee nv&（ 4-22 ）CDSformUFEePece )1()0,in(0,ax&为线性插值系数。UDS:（ 4-23 ）)( ;0,in();0,incSNcWEcPsNwcec AA&CDS:（ 4-24 ）)(;cSNcWEcPnnNwcec AAm&连续性条件（ 4-25 ）0snwe
