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1、1数学必修一复习提纲第一章 集合及其运算一集合的概念、分类：正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R二集合的特征： 确定性 无序性 互异性三表示方法： 列举法 描述法 图示法 区间法四两种关系： 从属关系：对象 、 集合；包含关系：集合 、 集合五三种运算：交 并 补|,ABxB且 |,AxB或 UCAxA且六运算性质： A， 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集 B； ABA（4） 集合的所有子集的个数为 2n，所有真子集的个数为 21n，所有非空真子集的个数为 2n， 第二章 函数函数相等（相同）：定义域相同；对应关系可化为相同。指数与对数运算分数指数幂与根式：
2、如果 nxa，则称 x是 的 n次方根， 0的 n次方根为 0，若 a，则当 n为奇数时， a的 n次方根有 1 个，记做 ；当 为偶数时，负数没有 次方根，正数 的 次方根有 2 个，其中正的 次方根记做 负的n次方根记做 n1负数没有偶次方根；2两个关系式： ()na； |na为 奇 数为 偶 数3、正数的正分数指数幂的意义：mn；正数的负分数指数幂的意义：1na4、分数指数幂的运算性质： mna； mn； ()mna； ()mab； 01，其中 、 均为有理数， ， b均为正整数二对数及其运算21定义：若 baN(0，且 1a， 0)N，则 logabN2两个对数： 常用对数： ， 10
3、logl； 自然对数： 2.718e， loglnebN3三条性质： 1 的对数是 0，即 la； 底数的对数是 1，即 loga； 负数和零没有对数4四条运算法则： log()llogaaaMNN； logllaaaMN； llnaa； 1llnaa5其他运算性质： 对数恒等式： logab； 换底公式：loglcab； loglabac； log1ab； llmnaab函数的概念一映射：设 A、B 两个集合，如果按照某中对应法则 f，对于集合 A 中的任意一个元素，在集合 B 中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合 A 到集合 B 的映射二函数：在某种变化过程中的两个变量 x
4、、 y，对于 x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则称 是 的函数，记做 ()f，其中 x称为自变量， x变化的范围叫做函数的定义域，和 x对应的 y的值叫做函数值，函数值 的变化范围叫做函数的值域三函数 ()f是由非空数集 A到非空数集 B 的映射函数是一种特殊的映射。四函数的三要素：解析式；定义域；值域函数的解析式一根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知 xxf2)1(，求函数 )(xf的解析式二已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知 ()f是一次函数，且 ()43f，函数 )(xf的解析式函数的定义域一根据给出函数的解析式求定
5、义域： 整式： xR 分式：分母不等于 0 偶次根式：被开方数大于或等于 0 含 0 次幂、负指数幂：底数不等于 0 对数：底数大于 0，且不等于 1，真数大于 0二根据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知 ()yfx定义域为 5,2，求 (3)yfx定义域；3已知 (32)yfx定义域为 5,，求 ()yfx定义域；三实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域函数的值域一基本函数的值域问题：二求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、单调性法、换元法（代数换元与三角换元） 、反函数
6、一反函数：设函数 ()yfxA的值域是 C，根据这个函数中 x， y的关系，用 y把 x表示出，得到()xy若对于 C中的每一 值，通过 ()xy，都有唯一的一个 与之对应，那么， ()就表示是自变量， x是自变量 y的函数，这样的函数 ()叫做函数 ()yfxA的反函数，记作1()xfy,习惯上改写成1()fx二函数 存在反函数的条件是： 、 y一一对应三求函数 ()fx的反函数的方法： 求原函数的值域，即反函数的定义域 反解，用 y表示 x，得1()fy 交换 x、 y，得1()fx 结论，表明定义域四函数 ()f与其反函数 y的关系： 函数 yx与1()fx的定义域与值域互换 若 y图像
7、上存在点 (,)ab，则1()yfx的图像上必有点 (,)ba，即若 ()fb，则1()fba 函数 ()yfx与1()fx的图像关于直线 yx对称函数的奇偶性：一判断函数 ()f奇偶性的步骤：1判断函数 x的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；2验证 ()f与 )f的关系，若满足 ()(fxf，则为奇函数，若满足 ()fxf，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数二奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称三若奇函数 ()fx的定义域包含 0，则 ()0f四一次函数 ykb)是奇函数的充要条件是 b；二次函数2axc(是偶函数的充要条件是 04函数的周期
8、性：一定义：对于函数 )(xf，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的每一个值时，都有()fxTf，则 为周期函数， 为这个函数的一个周期函数的单调性一定义：一般的，对于给定区间上的函数 ()fx，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值 1x， 2，当12x时满足： 12()fxf，则称函数 是增函数； 12()fxf，则称函数 ()f是减函数二判断函数单调性的常用方法：1函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：任取 x1，x 2D，且 x10)二次函数 情况 一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a0) =b 2-4ac ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)0
9、 21xx或 21x=0 0x图象与解0 , a1) 互为反函数名称 指数函数 对数函数一般形式 Y=ax (a0 且 a1) y=logax (a0 , a1)定义域 (-,+ ) (0,+ )值域 (0,+ ) (-,+ )过定点 （0，1） （1，0）指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a0 , a1)图象关于 y=x 对称图象单调性 a1,在(-,+ )上为增函数01,在(0,+ )上为增函数0a1, 在(0,+ )上为减函数2、比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数
10、的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象，研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 xy)(Ra的函数称为幂函数，其中 为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 ),0上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当 10时，幂函数的图象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间 ),(上是减函数在第一象限内，当 x从右边趋向原点时，图象在 y轴右方无限地逼近 y轴正半轴，当 x趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 x轴正半
11、轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 )(Dxf，把使 0)(f成立的实数 x叫做函数 )(Dxfy的零点。2、函数零点的意义：函数 )y的零点就是方程 x实数根，亦即函数)的图象与 轴交点的横坐标。即：方程 0(f有实数根 函数 )(f的图象与 轴有交点 函数xy有零点3、函数零点的求法：（代数法）求方程 )(xf的实数根； 1（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 )(xfy的图象联系起 2来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数 )0(2acbxy（1），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程 2有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交7点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程 02cbxa无实根，二次函数的图象与 x轴无交点，二次函数无零点
