2011年中考数学高分冲刺2充分发挥方程的工具性作用

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1、中考高分冲刺冲刺二充分发挥方程的工具性作用 方程是重要的数学工具，它可以干什么用呢？结论是：凡是有关“求值”的问题，不管是怎样的背景下和情境中，绝大多数情况都可以借助构造方程来解决。 一、方程用于实际问题中的求值这方面的题目，同学们做的已经很多，这里只举一例。例 1 秋末，由于冷空气入侵，某地区地面气温急剧下降到 0以下的天气称为“霜冻” 。由霜冻所导致的植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害。秋末某天，气象台发布了该地区如下的降温预报：午夜 0 时至次日 5 时气温将匀速地由 3降到3，然后从次日 5 时至次日 8 时，气温将又匀速地由3升到 5，一种农作物在 0以下持续超过 3 小时就会

2、造成霜冻灾害，根据气象 台的预报信息，你认为是否有必要对该农作物采取防冻措施？并说明理由。【观察与思考】第一， 这实际是要求出两个数值：一是 0 时至次日 5 时气温下降过程中在哪个时刻达到 0；二是在次日 5 时至次日 8 时气温上升过程中，在哪个时刻达到 0，显然是求值总问题。应分别构造方程来解决。第二， 可以用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程，即 2321 时 刻时 刻 对 应 的 温 度时 刻对 应 的 温 度时 刻时 刻时 刻 对 应 的 温 度时 刻对 应 的 温 度时 刻 （事实上， 只要把本问题的“温度差”看作“路程” ，它就相当于行程问题了。 ）简解：设在 0 时至次日

3、 5 时之间的 时，气温降到 0，则依题意有：x（ 时）.2,35x解 得设在次日 5 时至次日 8 时之间的 时气温升到 0，依题意有：y，解得 （时）0)(15.6 。625.3125.6气温在 0以下的时间为 3.625 小时（大于 3 小时）因此，会对该农作物造成霜冻灾害，所以应对它采取防冻措施。二、方程用于数学问题中的价值数学问题中有形形色色或显或隐的求值问题，大都可借助方程来解决。1、借助方程 ，解决某些“数与式”的问题例 1 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神秘数” 。如：，因此 4，12，20 这三个数都是神秘数，来源:Zxxk.Com2226

4、0,4,04（1 ） 28 和 2008 这两个数是神秘数吗？为什么？（2 ）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？【观察与思考】根据题中规定知道，若 （） ，(其中 是整数， 为正整数)，22)(xmxm则 就是“神秘数” 。正整数 是不是“神秘数” ，就看使（）式成立的整数 是不是存在，存在时m就是“神秘数” ；不存在， 就不是“神秘数” 。这就是说， 研究 是不是“神秘数”的问题，就变成m了研究（）这个关于 的方程有无整数解的问题。x解：（1） 方程 有非负整数解 3。即,28)(2(x268)3)3(2828 是神秘数。方程 ，没有整数解， 2008 不是神秘数。20)(2

5、y（2） ，来源:学.科.网）nn为 非 负 整 数(81)3令 解得 不是整数。(22zz zz显 然,21两个连续奇数的平方差（取正数）不是神秘数。例 2 按下面的程序计算，若开始输入的值 为正数，最后输出的结果为 656，则满足条件的 的x x不同值最多有（ ）输入 x计算 的值1550输出结果是否A、2 个 B、3 个 C、 4 个 D、5 个【观察与思考】本题相当于按如下规律构造的方程： ,65)1(,61xx，651)5(x有正整数解的共有多少个。可验证只有上述 4 个方程有正数解。.1)5(x解：选 C。对于许多有关特定要求的数，式问题，常需要借助方程来解决。2、借助方程，解决某

6、些几何图形的求值问题例 3 图 1 是由 9 个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长为 ，则六边a形的周长是 【观察与思考】拼成六边形的 9 个等边三角形按大小共分为 5 类，从大到小边长逐减小 ，因此，可通过构 造最大的等边三角形的边长的方程来求得它的值。从图 2 中可以看到最大三角形的边长是第四大三角形边长的 2 倍，易如：设最大的等边三角形的边长为 ，则有 。xaxx6),3(解 得图中六边形的六条边依次为： .3),4(,5, a解： a0例 4 如图，这是由五个边长为 1 的正方形组成的图形，过顶点 A 的一条直线和 CD，ED 分别相交于点 M，N。假若直线 MN

7、 绕过 A 旋转的过程中存在某一位置，使得 MN 将图形分成的两部分面积恰好相等，求这时线段 EN 的长。【观察与思考】可借助 来构造关于 E N 的方程求其长。25MNDS解： 。21)(121GASNGRt t,且 )1(2)1(2)1( 222 ENENSESANGMND ABC DEF GNM得关于 EN 的方程 01,25)1(22ENEN即解得 （不合题意，舍去） 。,21EN 215的 长 为E许多图形的求值问题，可借助方程来解决，事实上，包括解直角三角形和用相似三角形的性质求边长，也是特定形式的方程，是方程思想的一种具体化表现。3、借助方程，解决函数相关的问题例 5 如图，在平

8、面直角坐标系中，直线 与 轴的正半轴、 轴的正半轴分别交于点 E 和 F。从lxy点 A（1 ，0 ）和B（3，0）作 轴的垂线，分别与直线 交于点 C 和点 D。已知 ，xl 441ABDCOACF）SS四 边 形四 边 形求直线 的解析式。l【观察与思考】若设直线 的解析式为 。现在要求出lbkxy的值，为此去构造关于 的方程组。而所给条件bk和 和“ ”就是这两个方程组所依据441ABDCOACF）SS四 边 形四 边 形的等量关系。解：设直线 的解析式为 ，易知：lbkxy依题意有方程组：.3,BbkAF,2,1ABO解得1)3(214bk3bk直线 的解析式为：l2xy例 6 早晨，

9、小丽与妈妈同时从家出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，图中所示是她们离家的路程 （米）与时间 （分）的函数图象。妈妈骑自行车走了 10 分钟接到小丽的电话，即以原速度骑车前往小丽的学校，并与小丽同时到达学校。已知小丽步行速度为每分 50 米，求小丽家与学OxylA BCDEFO（分）x（米）yBA102500校的距离及小丽早晨上学需要的时间。【观察与思考】点 B 的横坐标就是小丽早晨小学需要的时间其纵坐标就是小丽家与学校的距离。本题的实质是求点 B 的坐标，也就是由 OB，AB 确定的函数关系式做成的方程组的解。而 OB，OA对应的函数易知。解：OB 对应的函数关系式为： 。xy5

10、0因为妈妈 10 分钟骑自行车走了 2500 米，其速度为 250 米/分钟，所以，AB 对应的函数关系式为： b2将（10 ， 2500）代入，求得 50,50xyb解方程组 得 502xy1250y小丽家与学校的距离为 1250 米，小丽早晨上学需要 25 分钟。【说明】本题是将方程的思想和函数图象的意义紧密结合，才有如此简明的解决方法。许多和函数相关的问题，只要涉及到求值，常需要考虑借助方程。4、和运动有关的图形问题，凡属运动过程中的特定形状，特定数量以及特定位置关系的，大都需要借助构造方程来解决例 7 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC， ，90B,15,4cmADc开始沿 AD

11、边向 D 点运动，速度为 1 厘米/秒，同时点 N 从点 C 开始沿 CB 向点 BAMcmBC从 点点,21运动，速度为 2 厘米/秒，设运动的时间为 秒。t（1 ） 当 为何值时，四边形 MNCD 是平行四边形？t（2 ） 当 为何值时，四边形 MNCD 是等腰梯形？【观察与思考】对于（1） ，当四边形 MNCD 是平行四边形时，MD=NC，就以这一相等关系构造关于 的方程。t对于（2） ，画出四边形 MNCD 是等腰梯形的草图，如图（2 ） ，AB CDMN作 垂足为 G，作 垂足为 H，此时应有 NG=CH，,BCM,BCD也即 CN=MD+2CH。可以用这一相等关系的构造关于 的方程

12、来求解。t解：（1）MD=15 ，CN=2 ，令 MD=NC，得 的方程tt。解得 =525即 =5（秒）时四边形 MNCD 是平行四边形。t（2 ） 令 得关于 的方程,6cmADCB),(2ADCBMNt解得215tt 9t即 （秒）时，四边形 MNCD 是等腰梯形。9例 8 如图，在 ABCD 中， AB=4，AD=3 ， 点 P 和点 Q 同时从点 A 出发，以每秒 1 个,60单位的速度运动，点 P 沿 ADDCCB 向点 B 运动，点 Q 沿射线 AB 的方向运动。当点 P 运动到点 B 处时，两点的运动同时结束。设运动时间为 秒。t（1）当点 P 在边 AD 上运动时， 求使 成

13、为以 D Q 为底边的等腰三角形的时刻 ；Pt（2）当点 P 在边 DC 上运动时，是否存在时刻 ，使线段 PQ 和对角线 BD 互相平行？若存在，请求t出 的值；若不存在，请说明理由；t（3 ）当点 P 在边 CB 上运动时， 可能成为直角 三角形吗？写出你的判断，并说明理由；BQ【观察与思考】以上三个问题，实际都归于建立关于 的方程来解决。t解：（1）点 P 在边 AD 上运动时， 。总有 为等边三角形，即 。30tPAtAQP令 PD=PQ，即 。2,3tt解 得（秒）时， 是以 DQ 为底边的等腰三角形。 （1）2t当 DPQ（2 ） 当点 P 在边 DC 上运动时， 。73tABDM

14、NHG CA BCDQPAD P CQB 若有 PQ/BD，则四边形 DBQP 为平行四边形，即 PD=BQ，如图（1 ） ，也即 ，该方程43t无解。不存在 这们的时刻 ，使 PQ/BD。t（3）点 P 在边 CB 上运动时， 107t若 为直角三角形，只有 如图（2） ，此时 。BQ9BPQBQPBQ21,30即令 8),4(210tt解 得当 ， 为直角三角形。8tP（2 ）来源:Zxxk.Com运动中变化着的图形或图形关系凡属“特殊图形” 、 “特定关系” 、 “特殊存在”类的问题，大都可通过构造相应的方程来解决。5、借助方程解决某些探索性问题来源:学.科. 网例 9 如图，每个正方形

15、点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含 的n等式表示第 个正方形点阵中的规律是 。n21231296324106.【观察与思考】不难发现这样的规律:第 个点阵点的总数为 ,被分成的两部分有关系:下边部分比n2nABCDPQ上边部分多 个点.如此一来,可用构造方程来确定要求的规律:n设第 个正方形点阵分成的两部分是 个点, 个点,则x)(n2)(nx解得 .2,2n解：应填： 。22n例 10 欣赏下列的等式：写出一个由 7 个连续整数组成，前 4 个数的平方和等2222 14310,543于后 3 个数的平方和的等式为： ；【观察与思考】关键是如何既简练又确切地表示“7 个连续整数 ”，考虑到要计算“平方和” ，那么最好的方法是，设 为整数，则 7 个连续整数表示为： 如此一来，n .3,21,23nnn可借助方程求出满足要求的 和 7 个整数来。设有 222222 )()()1()3()()1( n则