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1、专题 求递推数列通项的特征根法一、形如 是常数）的数列21(,nnapqa形如 是常数）的二阶递推数列都可用特征根121, (,nnmpqa法求得通项 ，其特征方程为 n2x若有二异根 ，则可令 是待定常数）,1212(,ncc若有二重根 ，则可令 是待定常数）()nna再利用 可求得 ，进而求得12,am12,cna例 1 已知数列 满足 ，求数列 的通项n *113()nNnan解：其特征方程为 ，解得 ，令 ，2x12,x12nc由 ，得 ， 12243ac2c1nna例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项n *1221,4()nnaNnan解：其特征方程为 ，解得 ，令 ，24x12
2、x12nac由 ，得 ， 122()14ac1246c132n二、形如 的数列1nnAaBCD对于数列 ， 是常数且 ）1nn*1,(,amnNABCD0,ADBC其特征方程为 ，变形为 AxBC2)xx若有二异根 ，则可令 （其中 是待定常数） ，代入,1nnacc的值可求得 值。12,ac 这样数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，于是这样可求得na1acna若有二重根 ，则可令 （其中 是待定常数） ，代入1nnc的值可求得 值。12,ac这样数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，于是这样可求得1nanacna例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项1122,()nnan解：其特征方程为
3、 ，化简得 ，解得 ，令x20x12,x11nnac由 得 ，可得 ，12,45a13c数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，n1，13nna3(1)na例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项n *112,()46nnNnan解：其特征方程为 ，即 ，解得 ，令246x20x12x12nnca由 得 ，求得 ，,2314a1c数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，2n125，13()5nna1506na 浅谈特征根法在求递推数列通项中的运用高三数学组 徐朝生以往浙江每年高考理科数学都会考数列，而且往往以压轴题出现，难度都比较大， 09 年浙江高考理科没有考数列大题，文科考了等差数列，
4、题目相对简单，但在全国其它省市中（如安徽、山东、广东、宁夏、海南、天津、江西等）经常考数列大题，题目有难有易，比如广东和江西的较难。而各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：（08 年广东高考）设 p、q 为实数，、 是方程 x2-px+q=0 的两个实数根，数列xn满足 x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)1）2）求数列x n的通项公式。3）若 ， ，求数列x n的前 n 项的和 snp41q(09 年江西高考)各项均为正数的数列 中a，都 有的 正 整
5、数且 对 满 足 qpnmqpnmba ,1 )1(mna，)(qp1）当 。时 ， 求 通 项54,2bana像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。类型一、递推公式为 （其中 p，q 均为非零常数） 。nnapa12先把原递推公式转化为 ，其中 满足 ，)(1212 nnnnxx 21,xqpx21显然 是方程 的两个非零根。21,x02qp1） 如果 ，则 ， 成等比，很容易求
6、通项公式。1a012nnaxn2） 如果 ，则 成等比。公比为 ，012ax12nnax2x所以 ，转化成：121)(nn，1212 axxann( I )又如果 ，则 等差，公差为 ，2112nx)(12ax所以 ，)(1212 aaxn即： 2121 nn x22)()nnxaxa可以整理成通式： 12)(nnBAIi)如果 ，则令 ， ， ,就有21x12nbaAx2Bax)(12，利用待定系数法可以求出 的通项公式BAbnn1 n211212 )()(xaxann 所以 ，化简整理得：22121 )()( nnn x，21121)(nnn xaxa小结特征根法：对于由递推公式 ， 给出
7、的数列nnqap12 21,，方程 ，叫做数列 的特征方程。若 是特征方程的两个根，na02qpxax当 时，数列 的通项为 ，其中 A，B 由 决定21xna121nnxA21,a（即把 和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） ；当21,x,1n时，数列 的通项为 ，其中 A，B 由 决定（即21xn 2)(nxB21,把 和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） 。21,xa,n12)(nnxBAa简例应用（特征根法）：数列 ： ， ),0(531Nnann 的特征方程是： ,b21, 02x32,xQ。又由 ，于是121nnBxAa1)3(nba21故)(3bab 1)3(nn下面
8、再看特征根法在 08 年广东高考题中的应用：设 p、q 为实数，、 是方程 x2-px+q=0 的两个实数根，数列x n满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)1）2）求数列x n的通项公式。3）若 ， ，求数列x n的前 n 项的和 snp41q解：2）显然 xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)的特征根方程就是 x2-px+q=0，而 、是方程 x2-px+q=0 的两个实数根，所以可以直接假设：1 当 = 时，设 ，因为 x1=p,x2=p2-q，所以1)(nnBA解得qpBA2)(pqP2nx 222)(np2 当 时，设 ，因为 x1=p,
9、x2=p2-q，所以11nBAx解得 ，qpBA2q2 qpB+nx1n12np3） ， 时， ，由第 2）小题的项可以直接得到1p4q 21BA，可以用错位相减法求和顺利拿下第 3）小题。nnx)(本题是 08 年广东高考真题，开始前两问均以字母的形式出现，给考生设置了接题障碍，如果在考前曾经学过特征根法，记住公式，那本题对这同学来说无疑是几分种的事情，或对特征根法有一定的了解，也许是多花点时间的问题，至少是接题思路和方向明确，绝不会象无头苍蝇一样乱撞。知道特征根法的来龙去脉、公式、以及运用也是学生能力拓展的一种表现。特征根法还能应用于下面一种数列题型的解答：类型二、 hraqpnn1解法：
10、如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有1aNn（其中 p、 q、 r、 h 均为常数，且 ） ，那么，可作hraqpnn1 rharqph1,0特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,如果 则 ；如果x 0x01x0n则 是等差数列。当特征方程有两个相异的根 、 时，则01a0n 12是等比数列。 （证明方法如同类型一，从略）12nx例：已知数列 na满足性质：对于 且 求 的通项公式. ,324,N1nna,1na解: 数列 n的特征方程为 变形得 其根为,x,042x故特征方程有两个相异的根，则有.2,1.N,)21(3)( 11221 nrpacnn .N,)51(ncn 即.
11、,)5(112cnn .,)(24ann例：已知数列 满足：对于 都有 （1）若 求 （2）na,Nn.3251nna,51a;n若 求 （3）若 求 （4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？,1a;n,61;na1 n解：作特征方程 变形得.25x,0252x特征方程有两个相同的特征根 .(1) 对于 都有.,511a,Nn;na(2) .,3rpbn)1(1 513)(531n令 ，得 .故数列 从第 5 项开始都不存在，,812n0n5na当 4， 时， .N7ban(3) ,561a.1 .,81)1(1 Nnrpnan 令 则 对于 ,0nb.7.0b,n.N,7435811nan(
12、4)、显然当 时，数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过31a程知， 时，数列 是存在的，当 时，则有5n 5a令 则得 且.N,85)1(11 narpabn ,0nbN,1351na2.当 （其中 且 N2）时，数列 从第 项开始便不存在。1351nnna于是知：当 在集合 或 且 2上取值时，无穷数列 都a3,:15Nna不存在。变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分 12 分）数列记).1(0521681 naaannn且满 足 ).1(2nabn（）求 b1、 b2、 b3、 b4的值；（）求数列 的通项公式及数列 的前 n 项n nb和 .nS解：由已知,
13、得 ,其特征方程为 解之得, 或nna8165 x816522145x,nna)2(1 n)45(21, 4521nnaannna24)1(4521451na)1(3b ,2nnnbb得由naaSL21故 12()nb1()532n1(2)3n下面再欣赏用特征根法解决 09 年江西高考真题各项均为正数的数列 中na，都 有的 正 整 数且 对 满 足 qpnmqpmba ,1 )1(mna，)(qp1）当 时 ， 求 通 项54,2bana解：由 得)1(mn )1(qp)1(an )1(2an化间得 ，作特征方程 ， ， 。21na2x12x所以 ， ，故31nn nna313na形如 型)
14、,(1为 定 值qpmann方法：不动点法:我们设 ,由方程 求得二根 x,y,由 有qxf)( xf)( qapmnn1qapmapmnnn 1同理 ,两式相除有 ,yyqynn 1 yaxqaxnyn1从而得 ,再解出 即可.axxyan 11)( na例 1.设数列 满足 ,求 的通项公式.n 7245,11nnn分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.x7245x452 02x或0011解：对等式两端同时加参数 t,得：,7254)(72)5(72451 nnnn attatat令 , 解之得 t=-1, 2 代入 得5t )(1nntt, ,72131nna79nna相除得 ,即 是首项为 ，21nn 1n 412a公
