勾股定理知识点与常见题型总结

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1、勾股定理复习一知识归纳勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么abc22abc.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： ， ，化简可证4EFGHSS正 方 形 正 方 形 ABCD214()abc方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 22c大正方形面积为 所以22()Sabab2方法三： ， ，化简得证1梯 形 21SAD

2、EBabc梯 形.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在 中， ，则 ， ，ABC902cab2ca2cb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可

3、运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 为斜边。abc22abc c勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 与较长边的平方 作比较，若它们相等时，以 ， ，2ab2 ab为三边的三角形是直角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，c 22abcc 22c以 ， ， 为三边的三角形是锐角三角形；ab定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ， 满足c2c

4、ab，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，但是 为斜边22ab b勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时，称 ， ，22abcabcab为一组勾股数c记住常 见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等3,456,8105,37,45用含字母的代数式表示勾股数： （ 为正整数） ； （ ， 为正整221,nn22,mnn,mn数）常见图形：A BC 30 DCBA ADB C CB DAcbaHGFED CBAbac baccabcab

5、abccbaEDCBA类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtABC 中，C=90 (1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40，b=9 ，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a.2. 已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为 【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用1. 若一个三角形的边长分别是 12、16 和 20，则这个三角形最长边上的高长是_ 。2.如图，ABC 中，有一点 P 在 AC 上移动若 AB=AC=5，BC=6，则 AP+BP+CP 的最小值为（）A 8

6、B 8.8 C 9.8 D 10 3.在 中， ，BC 边上的高 ，则 的周长为（ ）BC15,3A12ABCA、42 B、32 C、42 或 32 D、37 或 334.等腰三角形的底边长为 6，底边上的中线长为 4，它的腰长为 . 5.等边三角形的边长为 2，求它的面积。【变式】: ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90 ，如图 1，根据勾股定理，则 。若ABC 不是直角三角形，如图 2 和 3，请你类比勾股定理，abc22试猜想 与 的关系，并证明你的结论。类型三：勾股定理的实际应用1.如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2m，梯子的顶端 B

7、到地面的距离为7m，现将梯子的底端 A 向外移动到 A，使梯子的底端 A到墙根 O 的距离等于 3m同时梯子的顶端 B 下降至 B，那么 BB（ ） A小于 1mB 大于 1mC等于 1mD小于或等于 1m2.将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（） Ah17cm Bh8cmC15cm h16cm D7cmh 16cm（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了 到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m

8、 到达目的地 C 点。（1 ）求 A、C 两点之间的距离。 （2 ）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处有一所中学， AP=160 米，点 A 到公路 MN的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？（二）用勾股定理求

9、最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B 、C、D ，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 APQMN 【变式】1.如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程2.如图 1，长方体的长为 12cm，宽为 6cm，高为 5cm，一只蚂蚁沿侧面从 点向 点爬行，AB问：爬到 点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？B3.如图壁虎在一座底面半

10、径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫? 解题步骤归纳： 1、标 已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？），明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数 x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含 x 的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。类型四：利用勾股定理作长为 的线段1、作长为 、 、 的线段。 举一反三

11、【变式 】在数轴上表示 的点。类型五：勾股定理逆定理7、如果 ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC 的形状。举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3 ，BC=4 ，CD=12 ，AD=13 ，求四边形ABCD 的面积。【变式 2】已知: ABC 的三边分别为 m2n 2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn),判断ABC是否为直角三角【变式 3】如图正方形 ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且 BF= AB。请问 FE 与 DE 是否垂直? 请说明。类型六：与勾股定理有关的图形问题1.

12、如图，是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的，若图中大小正方形的面积分别为62.5 和 4，求直角三角形两直角边的长。2如图，直线 l 经过正方形 ABCD 的顶点 B，点 A、C 到直线 l 的距离分别是 1、2，则正方形的边长是_ _3.在直线 上依次摆放着七个正方形（如图 4 所示） 。已知斜l放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、S12、FE DAB C=_。SS341234、 ， 则 类型七：关于图形变换问题1.如图，把矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，EC 与 AD 相交于点 F.若AB=4， BC=6，求

13、FAC 的周长和面积.2.如图，将矩形 沿直线 折叠，顶点 恰好落在 边上 点处，已知ABCDEDCF， ，求 的长cmCE6c16F3.如图，ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将ABP 绕点 A 逆时针 旋转后，能与ACP重合，若 AP=3，求 PP的长。勾股定理在旋转中的运用例 1、如图 1，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10，求APB 的度数。练习：如图：设 P 是等边 ABC 内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则 APB 的度数是_.ABC345例 2. 如图 P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到正方形的三个顶点 A、B、C 的距离分别

14、为 PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形 ABCD 面积。 +5ABD练习 1：正方形 ABCD 内一点 P，使得 PA：PB：PC=1：2：3，求APB 的度数。 F EDCBAPAPCBA AFP PB BC C练习 2：请阅读下列材料：问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=2，PB= ，PC=1、求BPC 度数的大小和等边三角形 ABC 的边长李明同学的思路是：将BPC 绕点 B 顺时针旋转 60，画出旋转后的图形（如图 2），连接 PP，可得PPC 是等边三角形，而PPA 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以APC=150，而BPC=APC=150

15、，进而求出等边ABC 的边长为 ，问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA= ，BP= ，PC=1求BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边长解：（1）如图，将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得BPA，则BPCBPAAP=PC=1，BP=BP= ；连接 PP，在 RtBPP 中，BP=BP= ，PBP=90，PP=2，BPP=45；在APP 中，AP 2+PP 2=AP2；APP 是直角三角形，即APP=90，APB=135，BPC=APB=135（2）过点 B 作 BEAP，交 AP的延长线于点 E；EPB=45，EP=BE=1，AE=2；在 RtABE 中，由勾股定理，得 AB= ；BPC=135，正方形边长为 例 3如图（4-1） ，在 ABC 中， ACB =900，BC=AC，P 为 ABC 内一点，且PA=