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1、数学模型姓名：班级：学院：指导老师：摘要：司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到汽车完全停止住汽车行驶的离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长。就要对刹车距离与车速进行分析，它们之间有怎样的数量关系？美国的某些司机培训课程中有这样的规则:在正常驾驶条件下车速每增加10 英里/小时,后面与前面一辆车的距离应增加一个车身长度。又云，实现这个规则的一种简便方法是所谓“2 秒规则” ，即后车司机从前车经过某一标志开始默数 2 秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。试判断“2 秒规则”与上述规则是否一致？是否有更好的规则？并建立刹车距离的模型。 汽车在 10 英里/小时（约 16 千米/
2、小时）的车速下 2 秒钟下行驶多大距离。容易计算这个距离为：10 英里/小时*5280 英尺/英里*1 小时/3600 秒*2 秒=29.33 英尺（=8.94 米） ，远远大于一个车身的平均长度 15 英尺（=4.6 米） ，所以“2 秒准则”与上述规则并不一样。所以我们还要对刹车距离与速度做更仔细的分析，通过各种分析（主要通过数据分析）以及各种假设，我们提出了更加合理的准则，即“t 秒准则” 。在道路上行驶的汽车保持足够安全的前后车距是非常重要的，人们为此提出各种五花八门的建议，就上面的“一车长度准则” ， “2 秒准则”以及我们提出的 t 秒准则。这些准则的提出都是为了怎样的刹车距离与车
3、速的关系来保证行驶的安全。所以为了足够安全要做仔细的分析。关键字：刹车距离；车速；t 秒准则。一 问题分析问题要求建立刹车距离与车速之间的数量关系。制定这样的规定是为了在后车急刹车情况下不致撞到前面的车，即要确定汽车的刹车距离。刹车距离显然与车速有关，先看看汽车在 10 英里/小时（约 16 千米/小时）的车速下 2 秒钟下行驶多大距离。容易计算这个距离为：10 英里/小时*5280 英尺/英里*1 小时/3600 秒*2 秒=29.33 英尺（=8.94 米） ，远远大于一个车身的平均长度 15 英尺（=4.6 米） ，所以“2 秒准则”与上述规则并不一样。为了判断规则的合理性，需要对刹车距
4、离做教仔细的分析。一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有其他很多因素会影响刹车距离，包括车型.车重，刹车系统的机械状况，轮胎类型和状况，路面类型和状况，天气状况，驾驶员的操作技术和身体状况等。为了建立刹车距离与车速之间的函数关系，需要提出哪几条合理的简化假设呢？可以假设车型，轮胎类型，路面条件都相同；假设汽车没有超载;假设刹车系统的机械状况，轮胎状况，天气状况以及驾驶员状况都良好；假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向。这些假设都是为了使我们可以仅仅考虑车速对刹车距离的影响。这些假设是初步的和粗糙的，在建模
5、过程中，还可能提出新假设，或者修改原有假设。首先，我们仔细分析刹车的过程，发现刹车经历两个阶段：在第一阶段，死机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车系统开始起作用，汽车在反应时间行驶的距离称为“反应距离” ；在第二阶段，从刹车踏板被踩下，刹车系统开始起作用，到汽车完全停止，汽车在制动过程“行驶” （轮胎滑动摩擦地面）的距离称为“制动距离” 。二 模型假设基于上述分析，做以下假设：1） 刹车距离 等于反应距离 和制动距离 之和。d1d2d2） 反应距离 与车速 成正比，比例关系为反应时间1v1t3） 刹车时使用最大制动力 F，F 作的功等于汽车动能的改变，且 F 与车质量 m 成正比。三 模型的
6、建立及求解由假设 2）（1）1dtv由假设 3，在 F 作用下行驶距离 做的功 ，使使车速从 v 变到 0，而2d221FmvF=ma，则 = ，按照牛二定律可知，刹车时的减速度 a 为常数，于是2d1av（2）2kv其中 k 为比例系数，实际上 k=a/2。由假设 1，刹车距离为（3）2dt为了将这个模型用于实际，需要知道其中的参数 和 k。通常有经验估计和数据拟合1t两种方法，这里采用反应时间 的经验估计值（按多数人平均计算）0.75 秒，而利用交通1t部门提供的一组刹车距离的实际数据（下表）来拟合 k。车 速(英里/小时) 车速(英尺/秒)实际刹车距离(英尺) 计算刹车距离(英尺) 刹车
7、时间(秒) 20 29.3 42(44) 43.98 1.530 44.0 73.5(78) 82.45 1.840 58.7 116(124) 131.92 2.150 73.3 173(186) 192.37 2.560 88.0 248(268) 263.82 3.070 102.7 343(372) 346.25 3.680 117.3 464(506) 439.68 4.3表（1） 车速和刹车距离（第三列括号内是最大值）利用上表的第三 2,3 列数据和 =0.75 秒，可以得到模型（3）中 k=0.0256，于是1t（4）20.75.6dv表中第 4 列是按（4）式计算的刹车距离下图
8、给出了实际刹车距离和计算刹车距离的比较，表 1 最后一列刹车时间是按最大刹车距离（第三列括号内）计算的。表 2 实际计算刹车距离的比较四 结果分析按照上述模型可以将所谓“2 秒准则”修改为“t 秒准则” ，即后车司机从前车经过某一标志开始默数 t 秒钟后到达同一标志，t 由表 3 给出。车速(英里/小时)010 010 010 010t (秒) 1 2 3 4表 3 修正后的“t 秒准则”五 模型评价考察误差，发现当车速不超过 104.6 千米/小时，实际值都微小于理论值，但是当车速更快时，实际值就会大于理论值，而且随着车速的增加误差会越来越大。误差分析说明制动距离子模型 = 的模型假设适合较低的车速范围内；2dkv当车速更高时，可能由于我们漏了考虑某些不容忽视的因素，导致模型解答不那么令人信服。讲述准备：周英涛 李正福材料收集：李正福 艾孜海尔江.艾合买提材料整理及排版：周英涛参考文献1: 姜启源 谢金星等 高等教育出版社 2003 年2: 任善强 雷宁 数学模型 高等教育出版社 2003 年
