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1、第 1 页 共 8 页一元二次方程一、本章知识结构框图实际问题 数学问题 )0(2acbxa设未知数，列方程实际问题的答案数学问题的解 acbx24解 方 程降 次开平方法配方法公式法分解因式法检 验二、具体内容（一） 、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式；2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数 时，整式方程 才是一元二次方程。0a02cbxa（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数 ).（3）熟练整理方程的过程3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4列出实际问题的一元二
2、次方程（二） 、一元二次方程的解法1明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3体会不同解法的相互的联系；4值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如 或 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有nx2 )0()(2anb未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如 的方程的解法：nx2第 2 页 共 8 页当 时， ;0nnx当 时， ;021当 时，方程无实数根。（2）配方法：通过配方的方法把
3、一元二次方程转化为 的方程，再运用开平方法求解。nmx2)(配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；“系数化 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 的形式；nx2)(求解：若 时，方程的解为 ，若 时，方程无实数解。0nnmx0（3）公式法：一元二次方程 的根)(2acbaacbx24当 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；042acb当 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为 ； abx21当 时，方程无实数根.2c公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；
4、确定 的值；代入 中计算其值，cba, cb42判断方程是否有实数根；若 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。042acb（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。 ）（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：若 ，则 ；0ab0b或因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一
5、元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。第 3 页 共 8 页（三） 、根的判别式1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1） =acb42（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次
6、方程 （ ）02cbxaa当 方程有实数根；时0（当 方程有两个不相等的实数根；当 方程有两个相等的实数根；）时a 时0a当 方程无实数根； 时0从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。（四）相关练习（一） 一元二次方程的概念1一元二次方程的项与各项系数把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：（1） x325（2） 016（3） 5)(7)(yy（4） mm57)2(（5） 22)3(4)1(a2应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值(1) 为何值时，关于 的方程 是一元二次方程。 （ ）mxmxxm4)3()2(2m（2）若分式 ，则 （ ）
7、01872xx 8x第 4 页 共 8 页3由方程的根的定义求字母或代数式值(1)关于 的一元二次方程 有一个根为 0，则 （ ）x 1)1(22axa a1a(2)已知关于 的一元二次方程 有一个根为 1，一个根为 ，则 ，x )(02cbx cb（0，0） cba（3）已知 c 为实数，并且关于 的一元二次方程 的一个根的相反数是方程x32cx的一个根，求方程 的根及 c 的值。 （0，-3， c=0）02x 032c（二）一元二次方程的解法1开平方法解下列方程：（1） （2） 025x 289)3(169x（3） （4） 0612y 0)31(2m（5） 8)13(22x第 5 页 共
8、8 页2配方法解方程：（1） （2） （3） 05x 015y 342y3公式法解下列方程：（1） （2） （3） 262x p32y172（4） （5） 2592n 3)12(xx4因式分解法解下列方程：（1） （2） （3） 092x 045y 03182x（4） （5） （6）0217x 2362xx 1)5(2)(x（7） 08)3(2)3(2xx第 6 页 共 8 页5解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1） （2） （3）128)72(x 22)(1mm3(6（3） （4） 3)1(2)3(2 yy 22)3(14)5(8xx6解含有字母系数的方程（解关于 x 的方程）：（1
9、） （2） 022nmx 12432axx（3） （4） nmxn2)( xaxxa)1()()1( 222 （三）一元二次方程的根的判别式1不解方程判别方程根的情况：（1）4 （2） （3） xx732x4)(32xx542第 7 页 共 8 页2 为何值时，关于 x 的二次方程k 0962xk（1）有两个不等的实数根 （2）有两个相等的实数根 （3）无实数根 3已知关于的方程 有两个相等的实数根求的值和这个方程的根 mxx1)2(424若方程 有实数根，求：正整数 a. 054)1(22axax5对任意实数 m，求证：关于 x 的方程 无实数根.042)1(22 mx6 为何值时，方程 有实数根.k 0)3()2()1( kxxk第 8 页 共 8 页
