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1、 第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况.1 为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例 1 设 P、Q 为线段 BC 上两点,且 BPCQ,A 为 BC 外一动点(如图 1).当点 A 运动到使BAP CAQ 时,ABC 是什么三角形？试证明你的结论.答： 当点 A 运动
2、到使BAPCAQ 时,ABC 为等腰三角形.证明：如图 1,分别过点 P、B 作 AC、AQ 的平行线得交点 D.连结 DA.在DBPAQC 中,显然DBPAQC,DPB C.由 BPCQ,可知 DBPAQC.有 DPAC,BDP QAC.于是,DABP,BAP BDP.则 A、D、B 、 P 四点共圆,且四边形 ADBP 为等腰梯形.故 ABDP.所以 ABAC.这里,通过作平行线,将QAC“平推”到BDP 的位置.由于 A、D、B、P 四点共圆,使证明很顺畅.例 2 如图 2,四边形 ABCD 为平行四边形,BAF BCE.求证：EBAADE. 证明：如图 2,分别过点 A、B 作 ED、
3、EC的平行线,得交点 P,连 PE.由 AB CD,易知PBAECD.有PAED ,PBEC.显然,四边形 PBCE、PADE 均为平行四边形.有BCEBPE,APE ADE.由BAF BCE,可知 BAFBPE.有 P、B 、A 、E 四点共圆.于是,EBAAPE . 所以,EBA ADE .这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过 P、B、A、E 四点共圆,紧密联系起来.APE 成为EBA 与ADE 相等的媒介,证法很巧妙.2 为了改变线段的位置利用“平行线间距离相等” 、 “夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例 3 在AB
4、C 中,BD、CE 为角平分线,P 为 ED 上任意一点.过 P 分别作 AC、AB、BC 的垂线,M、N、Q 为垂足.求证：PMPNPQ . ADBPQC图 1PEDGAFC图 2 证明：如图 3,过点 P 作 AB 的平行线交 BD于 F,过点 F 作 BC 的平行线分别交 PQ、AC于 K、G,连 PG.由 BD 平行ABC,可知点 F 到 AB、BC两边距离相等.有 KQPN. 显然, ,可知 PGEC .PDEGC由 CE 平分BCA,知 GP 平分FGA.有 PKPM .于是,PMPN PKKQPQ.这里,通过添加平行线,将 PQ“掐开”成两段,证得 PMPK,就有 PMPNPQ.
5、证法非常简捷.3 为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例 4 设 M1、M 2 是ABC 的 BC 边上的点,且 BM1CM 2.任作一直线分别交 AB、AC、AM 1、AM 2 于P、Q、N 1、N 2.试证： .ABC12A证明：如图 4,若 PQBC,易证结论成立. 若 PQ 与 BC 不平行,设 PQ 交直线 BC于 D.过点 A 作 PQ 的平行线交直线 BC 于E.由 BM1CM 2,可知 BECEM 1EM2E,易知 , ,APBQCD , .1
6、NE2E则 .APBQCDM211AN2所以, .1AN2这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为 DE,于是问题迎刃而解.例 5 AD 是ABC 的高线,K 为 AD 上一点,BK 交 AC 于 E,CK 交 AB 于 F.求证：FDA EDA.证明：如图 5,过点 A 作 BC 的平行线,分别交直线 DE、DF、BE 、CF 于 Q、P 、N、M. 显然, .BDMC有 BDAMDC AN. (1)ANEBQKGCDMFP图 3APEDCM21BQN图 4图 5MPAQNBDCEK 由 , 有 AP . (2)BDAPFCMBCAMD由 , 有 AQ . (3
7、)QENN对比(1)、(2)、(3)有APAQ . 显然 AD 为 PQ 的中垂线,故 AD 平分PDQ .所以,FDAEDA .这里,原题并未涉及线段比,添加 BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使 AP 与AQ 的相等关系显现出来.4 为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例 6 在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,点 M 在 AB 边上,点 N 在 AC 边上,并且MDN90.如果BM2CN 2DM 2DN 2,求证：AD 2 (AB2AC 2).41证明：如图 6,过点 B 作
8、AC 的平行线交 ND延长线于 E.连 ME.由 BDDC,可知 EDDN.有BEDCND. 于是,BENC.显然,MD 为 EN 的中垂线.有 EMMN.由 BM2BE 2BM 2NC 2MD 2DN 2MN 2EM 2,可知BEM 为直角三角形,MBE90.有ABCACB ABCEBC 90.于是,BAC90. 所以,AD 2 (AB2AC 2).1BC4这里,添加 AC 的平行线 ,将 BC 的以 D 为中点的性质传递给 EN,使解题找到出路.例 7 如图 7,AB 为半圆直径,D 为 AB 上一点,分别在半圆上取点 E、F,使 EADA,FBDB.过 D 作 AB 的垂线,交半圆于 C
9、.求证：CD 平分 EF. 证明：如图 7,分别过点 E、F 作 AB 的垂线,G 、H 为垂足 ,连 FA、EB.易知DB2FB 2ABHB,AD2AE 2AGAB.二式相减,得 DB 2AD 2AB(HBAG),或 (DBAD)AB AB(HB AG). 于是,DB ADHBAG ,或 DBHB AD AG.就是 DHGD. 显然,EGCDFH . 故 CD 平分 EF.这里,为证明 CD 平分 EF,想到可先证 CD 平分 GH.为此添加 CD 的两条平行线 EG、FH,从而得到 G、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的
10、平行直线上截得的线段也相等.如图 8,三直线 AB、AN、AC 构成一组直线束,DE 是与 BC 平行的直线.于是,有 ,BNDMACE图 6ANCDEBAGDOHBFCE图 7图 8ADBNCEM 即 或 .BNDMCENB此式表明,DMME 的充要条件是 BNNC . 利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.例 8 如图 9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点 E、F,对角线 BDEF,AC 的延长线交 EF 于 G.求证：EG GF.证明：如图 9,过 C 作 EF 的平行线分别交 AE、AF 于 M、N.由 BDEF,可知 MNBD.易知SBEF S DEF . 有
11、 SBEC S KG *5DFC .可得 MCCN. 所以,EGGF .例 9 如图 10,O 是ABC 的边 BC 外的旁切圆,D、E、F 分别为O 与 BC、CA、AB的切点.若 OD 与 EF 相交于 K,求证：AK 平分 BC.证明：如图 10,过点 K 作 BC 的行平线分别交直线 AB、AC 于 Q、P 两点,连 OP、OQ、OE、OF.由 ODBC,可知 OKPQ. 由 OFAB ,可知 O、K 、 F、Q 四点共圆,有 FOQFKQ.由 OEAC,可知 O、K、P、E 四点共圆.有EOPEKP.显然,FKQEKP, 可知 FOQ EOP.由 OFOE,可知 Rt OFQRt O
12、EP. 则 OQOP.于是,OK 为 PQ 的中垂线 ,故 QKKP. 所以,AK 平分 BC.综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.第二讲 巧添辅助圆 在某些数学问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例 1 如图 1,在ABC 中,ABA
13、C ,D 是底边 BC上一点,E 是线段 AD 上一点且 BED2CEDA.求证：BD2CD.分析：关键是寻求BED2CED 与结论的联系.容易想到作BED 的平分线,但因 BEED,故不能直接证出 BD2CD.若延长 AD 交ABC 的外接圆于 F,则可得 EBEF,从而获取.图 9ABMEFNDCGAOEPCBFQK图 10ABGCDFE图 1 证明：如图 1,延长 AD 与ABC 的外接圆相交于点 F,连结 CF 与 BF,则BFABCAABC AFC,即BFDCFD.故 BF:CFBD:DC .又BEF BAC,BFEBCA,从而FBEABCACBBFE.故 EBEF.作BEF 的平分线交 BF 于 G,则 BGGF.因GEF BEFCEF,GFECFE ,故 FEGFEC.从而 GFFC.21于是,BF2CF.故 BD2CD.1.2 利用四点共圆例 2 凸四边形 ABCD 中,ABC60,BADBCD90, AB2,CD1,对角线 AC、BD 交于点 O,如图 2.则 sinAOB _.分析：由BADBCD90可知 A、B、C 、D四点共圆,欲求 sinAOB ,联想到托勒密定理,只须求出 BC、AD 即可.解：因BADBCD90,故 A、B、C 、D 四点共圆.延长 BA、CD 交于 P,则ADPABC60
