用一元二次方程解决问题

《用一元二次方程解决问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用一元二次方程解决问题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、用一元二次方程解决问题【学习目标】：1. 根据实际问题会列一元二次方程，并求出实际问题的解；2. 根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；3.体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法。【学习重点】：体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力。【学习难点】：如何把实际问题转化为数学模型。【知识要点】：知识点 1：基本知识（1）一元二次方程的一般形式：（2）一元二次方程的解法：开平方法；分解因式法；配方法；公式法。（3）判别式：当判别式 时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根；当判别式 时，方程有两个相等的实数根。 （4）根与系数的关系：设一元二次方程 的

2、二根分别为，则 ，知识点 2：列方程解决问题的一般步骤（1）“审”。阅读理解题意，确定已知，未知，以及它们之间的数量关系。（2）“设”。在审题的基础上设立未知数帮助理解，建立相等的数量关系。（3）“列”。根据题意，列出含有未知数的等式。（4）“解”。就是求出所列方程的解。（5）“检”。就是解应用题既要检验有无增根，又要检验是否符合题意。（6）“答”。就是书写答案。但要注意，求出解后，要进行检验。知识点 3：列一元二次方程解决实际问题的常见题型（1）平均增长（降低）率问题（包括百分率，折旧率，利息率）（2）营销问题 （3）面积问题（4）数字问题 （5）几何问题 （6）开放题型的讨论【典型例题】例

3、 1：已知一元二次方程 的一根是另一根的两倍，求方程的两根和 的值。解：设方程的两根分别为 和 ，则：从而 ， ， 。所以方程的两根为 和 ， 的值为 。例 2：当 为何值时，方程组（1）有两个相同的实数解？（2）有两个不相同的实数解？（3）没有实数解？解：由得把代入，得 化简得 要使方程组有两个相同的实数解或两个不相同的实数解或没有实数解，只要方程有相等实数根或有不相等的实数根或没有实数根，因此，它的判别式就会相应地等于零或大于零或小于零。 方程的判别式为 （1）当 ，即当 时，方程组有两个相等的实数解；（2）当 ，即当 时，方程组有两个不相同的实数解；（3）当 ，即当 时，方程组没有实数解

4、；例 3：一种药品经两次降价，由每盒 60 元调至 52 元，平均每次降价的百分率是多少？（精确到 1%）解：设平均每次降价的百分率为 。则 答：每次降价的百分率约为 7%。例 4：小明同学将 100 元压岁钱第一次按一年期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中 50 元捐给“希望工程”，剩余的全部按一年定期存入，这时存款的年利率调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后，可得本金和利息共 63 元，求第一次存款时的年利率。解：设第一次存款时间利率为 。解之： ， （舍去） 答：第一次存款的年利率为 10%。例 5：汽车交易市场有一辆原价为 12 万元的车，但已使用三年，如果第一

5、年的折旧率为20%，以后其折旧率有所变化，现知第三年这辆轿车值 7.776 万元，求这辆轿车第二年，第三年平均的折旧率。解：设这辆轿车的第二、第三年平均折旧率为 。 ， （舍去）答：平均折旧率为 10%。例 6：一小区在一个长为 40m，宽为 26m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的甬路，使其两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为，求甬路的宽度。 解：设甬道宽为 。有或 解之，得： 所以甬路的宽度为 2 。 例 7：甲乙二人合做一项工作，甲因有事迟来了一天，又过 3 天才完成这项工作，若单独完成这项工作，甲比乙慢 3 天。求单独完成这项工作各需多

6、少天？ 解：设甲单独完成这项工作需要 天，则乙为（ ）天，根据题意得方程：化简整理，得： 所以 ， 经检验 都是原方程的根，而 不合题意，舍去。 所以 （天）答：若单独完成这项工作，甲需要 9 天，乙需要 6 天。 例 8：有一块矩形的铁片，在它的四个角落各剪去一个边长是 4cm 的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没盖的盒子，已知铁片的长是宽的 2 倍，做成的盒子容积是1536cm3，求这块铁片的长和宽。解：设铁片的宽为 ，则长为 整理，得解得， （舍去）当 时，答：铁片的宽为 20 ，长为 40 。例 9：友谊商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元，市场调研表明：当销售价为 2

7、900元时，平时每天能售出 8 台，而当销售价降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台，该商场要想使这种冰箱销售利润每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？解：设每台冰箱降价 元，依据题意得：解之： ， 答：每台冰箱的定价为 2750 元。例 10：一个容器中盛满 的纯药液，倒出纯药液后，用水加满，再倒出等量的液体，再用水加满，此时容器中的药液与水之比为 ，问每次倒出液体多少升？解：设每次倒出液体 （舍去） 答：每次倒出液体为 6 升。例 11：如图，ABC 中， ， ， ，点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点B 以 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以

8、的速度移动（1）如果 P，Q 分别从 A、B 同时出发，经几秒钟，使PBQ 的面积等于 。（2）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，并且 P 到 B 点后又继续在 BC 边上前进，Q到 C 点后又继续在 CA 边上前进，经几秒钟， PCQ 的面积等于 。解：（1）设经 秒钟，使PBQ 的面积等于 。依据题意得： ，（2）设经 秒钟，PCQ 的面积等于 。 依据题意得：例 12：某同学根据 2009 年安徽省内五个城市商品房销售均价（即销售平均价）的数据，绘制了如下统计图： （1）这五个城市 2009 年商品房销售均价的中位数、极差分别是多少？（2）若 2007 年 A 城市的商品房销售均价

9、为 1600 元/平方米，试估计 A 城市从 2007 年到2009 年商品房销售均价的年平均增长率约是多少（要求误差小于 1%）？解：（1）中位数是 2534（元/平方米）；极差是 3515 2056 1459（元/ 平方米） （2）设 A 城市 2007 年到 2009 年的年平均增长率为 ，由题意，得：， ， ，当 时， 1.32251.324375，当 时， 1.34561.324375，可知 1.15 1.16，0.15 0.16 答：平均增长率约为 15%（或 16%等，答案不惟一）【巩固训练】一、填空题：1. 一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位

10、数是 。2. 用 22cm 的铁丝，折成一个面积为 30cm2 的矩形，则此矩形的长为 cm，宽为_cm。3、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至 128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是 。4、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的 60 元降至 48.6 元,那么平均每次降价的百分率是 。 5、高温煅烧石灰石(CaCO 3)可以制取生石灰(CaO) 和二氧化碳(CO 2)。如果不考虑杂质及损耗，生产石灰 14 吨就需要煅烧石灰石 25 吨,那么生产石灰 224 万吨,需要石灰石 万吨。6、解方程 时，利用换元法将原

11、方程化为 ，则应设 _7、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达 95 万人次，其中第一年培训了 20 万人次。设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为 ，根据题意列出的方程是_。8、一条长 64 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。若两个正方形的面积和等于 160，则这两个正方形的边长分别为 。二、选择题：1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低 36%, 若每年下降的百分数相同,则这个百分数为 （ ）A、10% B、20% C 、120% D、180%2、某超市一月份的营业额为 200 万元,已知第一季度的总营业额共 1000 万元, 如果平均每月增长

12、率为 x,则由题意列方程应为( )A、 B、C、 D、 3、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为 200 千克，出油率为 50（即每 100 千克花生可加工成花生油 50 千克）现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132 千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的二分之一则新品种花生亩产量的增长率为（ ）A、20 B、30% C、50% D 、120%4、若两个连续整数的积是 56，则它们的和是( )A、15 B、15 C、-15 D、115、把一个正方形的一边增加 2 ，另一边增加 1 ，所得的长方形面积比正方形面积增加 14 ，那么原来正方形的边长是（ ）A. 3 B.

13、 4 C. 5 D. 6 6、在一幅长 80 ，宽 50 的矩形风景画的四周加一条金色纸边，制成一幅矩形的掛图，要使整个掛图的面积是 5400 ，设金色纸边的宽为 ，那么 满足的方程是（ ） A. B. C. D. 7、一批学生组织春游，预计共需费用 120 元，后来又有 2 人参加，所交的费用与其他人相同，这样每人可少分摊 3 元，原来这批学生的人数是（ ）A. 8 B. 10 C. 12 D. 15三、解答题：1、一个长为 5 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 4 ，如果梯子的顶端下滑 1 ，梯子的底端滑动了多少米？2、如图，把长 AD ，宽 AB 的矩形沿着 AE 对折，使

14、 D 点落在 BC 边的 F 点上，求 DE 的长。3、从一块长 80 ，宽 60 的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求剩下的长方形框四周的宽度。4、生物学习小组准备利用学校仓库房的一块空地，开辟一个面积为 130 的花圃。打算一面利用长为 15 的仓库墙面，三面利用长为 33 的旧围栏，求花圃的长和宽。5、某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁 1250，因为准备工作不足，第一天少拆迁了 20。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了 1440 。求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；(2

15、)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。6、在解一元二次方程时，粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题，甲抄错了常数项，得到的两根分别是 8 和 2；乙抄错了一次项系数，得到的两根分别是 和 .你能找出正确的原方程吗?若能，请你用配方法求出这个方程的根.7、某旅行社为吸引市民组团去当地风景区旅游，推出了如下收费标准：单位组织员工去该风景区旅游，共支付给旅行社的旅游费用为 27000 元，请问该单位这次共有多少员工去这一风景区旅游？答案与提示：一、填空题： 1、提示：设十位数字为 ，则个位数字为 ，依据题意可得：，化简整理得： ，所以 ，则个位数字分别为 5，6；故符合题目条件的两位数为 25 或 36。2、设矩形的长为 ，则： ，解得 （舍去），所以矩形的长为 6cm，宽为 5cm。3、2