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1、高考数学（理科）一轮复习直线及其方程学案带答案第九解析几何学案 47直线及其方程导学目标： 1 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素 2 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 3 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系自主梳理 1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴_与直线 l_方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_倾斜角的范围为_(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角 的_ 叫做这条直线的
2、斜率，斜率常用小写字母表示，即_，倾斜角是 90的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，1)，P2(x2，2) (x1x2)的直线的斜率公式为_2直线的方向向量经过两点 P1(x1，1)，P2(x2，2)的直线的一个方向向量为P1P2，其坐标为_ ，当斜率存在时，方向向量的坐标可记为(1，) 3直线的方程和方程的直线已知二元一次方程 AxB0 (A2B20)和坐标平面上的直线l，如果直线 l 上任意一点的坐标都是方程_的解，并且以方程 AxB0 的任意一个解作为点的坐标都在_，就称直线 l 是方程 AxB0 的直线，称方程 AxB0 是直线l 的方程4直线方程的五种基本形
3、式名称方程适用范围点斜式不含直线 xx0斜截式不含垂直于 x 轴的直线两点式不含直线 xx1 (x1x2)和直线1(12)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用线段的中点坐标公式若点 P1， P2 的坐标分别为 (x1，1)，(x2， 2)，且线段 P1P2 的中点的坐标为(x，) ，则 x，此公式为线段 P1P2的中点坐标公式自我检测 1(2011银川调研 )若 A(2,3)，B(3，2) ，12，三点共线，则的值为()A12 B12 2 D22直线 l 与两条直线 x70，1 分别交于 P、Q 两点，线段PQ 的中点为 (1，1)，则直线 l 的斜率为()A
4、32 B32 23 D233下列四个命题中，假命题是()A经过定点 P(x0，0)的直线不一定都可以用方程0(xx0) 表示B 经过两个不同的点 P1(x1，1)、P2(x2，2) 的直线都可以用方程(1)(x2x1)(x x1)(21)表示与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程 xab1 表示D经过点 Q(0，b)的直线都可以表示为xb4(20110，且B0，那么直线 AxB0 不通过( )A第一象限 B第二象限第三象限 D第四象限已知直线 l 的方向向量与向量 a(1,2)垂直，且直线 l 过点A(1,1)，则直线 l 的方程为()Ax210 B2x30x210 Dx230 探究点一倾斜
5、角与斜率例 1 已知两点 A(1，)、B(3，2)，直线 l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求 l 的斜率变式迁移 1直线 xsin 10 的倾斜角的变化范围是()A0，2 B(0，)4，4 D0，434 ，探究点二直线的方程例 2 (2011武汉模拟)过点(0,1)作直线，使它被两直线l1：x3100，l2：2x80 所截得的线段恰好被所平分，求此直线方程变式迁移 2求适合下列条的直线方程：(1)经过点 P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点 A(1， 3)，倾斜角等于直线3x 的倾斜角的 2 倍 探究点三直线方程的应用例 3 过点 P(2,1)的直线 l 交 x 轴、轴正半
6、轴于 A、B 两点，求使：(1) AB 面积最小时 l 的方程；(2)|PA|PB|最小时 l 的方程 变式迁移 3为了绿化城市，拟在矩形区域 ABD 内建一个矩形草坪 (如图)，另外EFA 内部有一物保护区不能占用，经测量|AB|100 ，|B|80 ，|AE|30 ，|AF|20 ，应如何设计才能使草坪面积最大？ 探究点四数形结合思想例 4 已知实数 x，满足x22x2(1x1) 试求3x2 的最大值与最小值变式迁移 4直线 l 过点(1,2)且与以点 P(2，3) 、Q(4,0)为端点的线段恒相交，则 l 的斜率范围是()A2， B 2 ，0) (0,(，2，) D 2，2) (2，1要
7、正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为 0180，熟记斜率公式21x2x1，该公式与两点顺序无关已知两点坐标(x1x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而 x1x2，12 时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为 902当直线没有斜率(x1x2)或斜率为 0(12) 时，不能用两点式121xx1x2x1 求直线方程，但都可以写成(x2x1)(1)(2 1)(xx1)的形式直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式3使用直线方程时，一定要注意限制条以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条是直线必须有斜率，截距式的使
8、用条是截距存在且不为零，两点式的使用条是直线不与坐标轴垂直(满分：7 分)一、选择题(每小题分，共 2 分)1(2011临沂月考 )已知直线 l 经过 A(2,1)、B(1，2) (R)两点，那么直线 l 的倾斜角的取值范围是()A(0，) B0，4 2，0，4 D4，22，2若直线 l：x3 与直线 2x360 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是()A6，3 B6，23，2 D6，23点 P(x，)在经过 A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，那么 2x4 的最小值是()A22 B4216 D不存在4(2011宜昌调研 )点 A(ab，ab)在第一象限内，则直线bxaab
9、0 不经过的象限是 ()A第一象限 B第二象限第三象限 D第四象限(2011包头期末 )经过点 P(2，1) ，且在轴上的截距等于它在 x 轴上的截距的 2 倍的直线 l 的方程为()A2x2 B2x42x3 D2x3 或 x20二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6过两点 A(22，23)，B(32,2) 的直线 l 的倾斜角为 4，则_7直线 x(a21)10(aR)的倾斜角的取值范围是_8设 A、B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且|PA| |PB|，若直线 PA 的方程为 x10，则直线 PB 的方程是_三、解答题(共 38 分)9(12 分) 已知两点 A(1,2
10、)，B(,3)，求：(1)直线 AB 的斜率；(2)求直线 AB 的方程；(3)已知实数331，31，求直线 AB 的倾斜角 的范围 10(12 分)(2011 秦皇岛模拟) 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(1,1)、(2,2) ，若直线 l：x0 与线段 PQ 有交点，求的范围11(14 分) 已知直线 l：x120 ( R)(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交轴正半轴于 B，AB 的面积为S，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程学案 47直线及其方程自主梳理1(1) 正向向上00180 (2)正切值ta
11、n 21x2x12(x2x1，21)3AxB0直线 l 上40(xx0)xb121xx1x2x1xab1(a0，b0)AxB0(A、B 不同时为 0)x1x22122自我检测1A2D3D4D堂活动区例 1 解题导引斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条，判断角的范围关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型解设直线 l 的倾斜角为 ，则直线 AB 的倾斜角为 2，由题意可知：tan 2234，2tan 1tan234整理得 3tan28tan 30解得 tan 13 或 tan 3，tan 2 340，00，故直线 l 的斜率为 13变式迁移 1D直线 xsin 10 的斜
12、率是sin ，又1sin 1， 11当 01 时，倾斜角的范围是 0，4，当10 时，倾斜角的范围是 34，例 2 解题导引(1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况(2)求直线方程常用方法待定系数法待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条求出参数解过点且与 x 轴垂直的直线是轴，它和两已知直线的交点分别是 0，103 和(0,8)，显然不满足中点是点(0,1)的条故可设所求直线方程为x1，与两已知直线 l1、l2 分别交于A、B 两点，联立方程组x1，x3100，x1，2x80，由解得 xA731，由解得 xB72点平分线段 AB，xAxB2x，即 731720，解得
13、14故所求直线方程为 x440变式迁移 2解(1)设直线 l 在 x，轴上的截距均为 a，若 a0，即 l 过点(0,0)和(3,2)，l 的方程为23x，即 2x30若 a0，则设 l 的方程为 xaa 1，l 过点(3,2)，3a2a1，a， l 的方程为 x0，综上可知，直线 l 的方程为 2x30 或 x0(2)由已知：设直线3x 的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为 2tan 3，tan 22tan 1tan234又直线经过点 A(1，3)，因此所求直线方程为334(x1)，即 3x410例 3 解题导引 先设出 A、B 所在的直线方程，再求出 A、B两点的坐标，表示出AB 的面积，然后利用相关的数学知识求最值确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法解设直线的方程为 xab1 (a1)，由已知可得 2a1b 1(1) 2 2a1b2a1b1，ab8SAB12ab4当且仅当 2a1b 12，即 a4， b2 时， SAB 取最小值 4，此时直线 l 的方程为 x421，即 x240(2)由 2a 1b1，得 aba2b0，变形得(a2)(b 1) 2，|PA|PB|2
