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1、高二数学数学归纳法的应用 0087 数学归纳法的应用一、教学内容分析1本小节的重点是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除教学时应对书写与表达提出严格的要求尤其是在证明数或式的整除性时，更要注意说理清楚，并以此作为培养学生逻辑推理能力的一个抓手2本小节的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性突破难点的关键是在授时要重点分析“补项法” 的证明思路：通过补项为运用归纳假设创造条不要让学生单纯机械地模仿另外还常用作差方法，通过相减后，证明差能被某数（或某式）整除,再利用归纳假设可得当n=+1 时命题成立二、教学目标设计1会用数学归纳法证明等式；2会用数学归纳法证明数或式的整除；3进一步掌握数学归纳法的
2、证明步骤与数学归纳法的实质三、教学重点及难点：用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除四、教学流程设计五、教学过程设计1复习回顾：用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的如果只完成步骤（i）而缺少步骤（ii）不能说明命题对从 n0 开始的一切正整数 n都成立如 +1，当 n=0、1、2、3、4 时都是素数，而 n=时， +1=6416700417 不是素数同样只有步骤（ii）而缺少步骤（ i） ，步骤（ii）的归纳假设就没有根据，递推就没有基础，就可能得出不正确的结论如 2+4+6+2=2+a（a 为任何数）2讲授新:用数学归纳证明等式例 1:用数学归纳法证明:14+27+310+n（3n+
3、1）=n（n+1）2例 2：用数学归纳法证明：12+22+32+n2= n（n+1） （2n+1）说明 上述两例师生共同讨论完成完成两例讨论后向学生指出：(1)由于证明当 n=+1 等式成立时，需证明的￥资% 网结论形式是已知的，只要将原等式中的 n 换成+1 即得，因此学生在证明过程中，证明步骤必须完整，不能跳步骤；（2）有些等式证明题在证明当n=+1 正确时，需用恒等变形，技巧较高，对基础较差的学生说完成很困难，这时可通过左、右边的多项式乘法完成如 求证： （n N*）证明：（1）当 n=1 时，左边=1 ，右边= 1（4-1）=1 等式成立（2）假设当 n=（ N*）时等式成立，即 ,则
4、 n=+1 时，又 即 等式成立由（1） （2）知，等式对任何 n N*都成立(3) 用数学归纳法证明恒等式成立时，在逆推过程中应注意等式左右的项数的变化由当 n=到 n=+1 时项数的增加量可能多于一项，各项也因 n 的变化而变化,因此要根据等式的特点仔细分析项数及各项的变化情况例如：求证：（ *）例 3 （补充）在 1 与 9 之间插入 2n-1 个正数数 ，使 1， ，9 成等比数列，在 1 与 9 之间又插入 2n-1 个正数 ，使 1， ，9 成等差数列设 ， ,（1）求 、 （2）设 ，是否存在最大自然数，使对于 n N*都有 被整除，试说明理由解：（1） （2） 当 n=1 时，
5、 =64当 n=2 时， =320=64当 n=3 时， =3664由此猜想：最大自然数=64用数学归纳法证明上述猜想：1 当 n=1 时，猜想显然成立;2 假设当 n=（ N*）时成立，即 能被 64 整除，则当 n=+1 时， 由归纳假设知 能被 64 整除，又 也能被 64 整除，所以 也能被64 整除由 1、2 知， 能被 64 整除（n N*）又因为 ，所以存在最大自然数 64，使 能被 64 整除（n N*）说明 本例是较难的数列与数学归纳法的综合题在第（1）小题的解题过程中充分利用了等差、等比数列的性质，起到了对等差、等比数列知识的复习作用本例也可以先将等差、等比数列的公差 d、
6、公比 q 用 n 表示，然后求出 、 （可让学生完成） ，同时本例的第（2）小题既复习了用数学归纳法证明数式的整除性，又为进一步掌握归纳猜测论证的问题提供了保证，是否选用本题教师可根据学校学生的实际数学学习水平决定3 巩固练习:练习 76(2)1,2,34后习题：习题 7 A 组 习题 7 B 组堂小结: （1）本节中心内容是数学归纳法的应用，数学归纳法适用的范围是：证明某些与连续自然数有关的命题； （2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明; 归纳法是有一系列特
7、殊事例得出一边结论的推理方法，它属于归纳推理而数学归纳法它是一种演绎推理方法，是一种证明命题的方法！因此，它不属于“不完全归纳法 ”！甚至连“归纳法”都不是！(3)学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归) 思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；数学归纳法证题的步骤：验证 P( )成立 假设 P()成立(N*且 )，推证 P(+1)成立 数学归纳法的核心，是在验证 P( )正确的基础上，证明 P(n)的正确具有递推性(n )第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据因此，两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键 (4)本节所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想
8、、函数与方程思想从这节的学习中你有何感想？你能否体会到数学归纳法的魅力？ 六教学设计说明1数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题的正确性的证明方法它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可你怎么知道 n=时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起的问题，等等为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的
9、完善结合起这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试2在教学方法上，这里
10、运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法目的是在于加强学生对教学过程的参与程度为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中，是十分重要的这就要求教师把每节的题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展本节的教学设计也想在这方面作些研究3理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=+1 命题成立时必须用到 n=时命题成立这个条即 n=+1 时等式也成立这是不正确的因为递推思想要求的不是 n=，n=+1 时命题到底成立不成立，而是 n=时命题成立作为条能否保证 n=+1 时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立证明的主要部分应改为以上理解不仅是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指明了正确的思维方向
