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1、苏教版高二数学必修五全册教案第八时 等比数列(二)教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识教学重点：1 等比中项的理解与应用2 等比数列定义及通项公式的应用教学难点：灵活应用等比数列定义、通项 公式、性质解决一些相关问题教学过程：复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式讲授新根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?(1)若 a， A，b 成等差数列 aab2 ，A 为等差中项那么，如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G，b 成等比数列，则即 Ga bG ，即 G2ab反之，若 G
2、2ab，则 Ga bG ，即 a，G ，b 成等比数列a，G， b 成等比数列 G2ab (ab0)总之，如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G ，b 成等比数列，那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项即 G ab ，(a，b 同号)另外，在等差数列中，若npq，则 aan apaq，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：aa1q1，ana1qn1，apa1qp 1，aqa1qq 1不难发现：aaqa12qp+q 2若npq，则 aaq下面看应用这些性质可以解决哪些问题?例 1在等比数列an中，若 a3a100，求 a4分析：由等比数列性质，若npq，则aaq 可得：解：在等
3、比数列中，a3aa42又a3a100，a410例 2已知an、bn是项数相同的等比数列，求证anbn是等比数列分析：由等比数列定义及通项公式求得解：设数列an的首项是 a1，公比为 p；bn的首项为 b1，公比为 q则数列an的第 n 项与第 n1 项分别为 a1pn1，a1pn数列bn 的第 n 项与第 n1 项分别为 b1qn1，b1qn数列anbn的第 n 项与第 n1 项分别为a1qn1 与a1qn，即为a1b1(pq)n 1 与 a1b1(pq)nan+1an bn+1bn a1b1（pq）na1b1（pq）n1 pq它是一个与 n 无关的常数，anbn是一个以 pq 为公比的等比数
4、列特别地，如果an是等比数列， 是不等于 0 的常数，那么数列an是等比数列例 3三个数成等比数列，它们的和等于 14，它们的积等于64，求这三个数解：设，G，n 为此三数 由已知得：nG14，G64，又G2 n，G3 64，G4，n102n8 或8n2 即这三个数为 2，4，8 或 8，4，2评述：结合已知条与定义、通项公式、性质，选择解题捷径堂练习本 P0 练习 1，2，3 ，4，时小结本节主要内容为：(1)若 a， G，b 成等比数列，则 G2 ab ，G 叫做 a 与 b 的等比中项(2)若在等比数列中，npq，则 aaq 后作业本 P2 习题 ，6，7， 9 等比数列(二)1已知数列
5、an为等比数列，且 an0，a2a42a3a a4a62，那么 a3a 的值等于（ ）A B10 1 D202在等比数列中，a11，qR 且|q|1，若 aa1a2a3a4a，则等于 （ ）A9 B10 11 D123非零实数 x、 、z 成等差数列，x1、 、z 与 x、 、z2 分别成等比数列，则等于（ ）A10 B12 14 D164有四个数，前三个数成等比数列，其和为 19，后三个数成等差数列，其和为 12，求此四数 在数列an和bn中，an0，bn0，且 an，bn，an+1 成等差数列，bn，an+1，bn+1 成等比数列，a1 1，b12，a2 3，求anbn 的值 6设 x 2
6、，且 x，x，x，x 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列 7有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为 21，中间两项的和为 18，求这四个数等比数列(二) 答案1 已知数列an为等比数列，且an0，a2a42a3aa4a62，那么 a3a 的值等于（ ）A B10 1 D20分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条，而这里只有一个条，故用先确定基本量 a1 和 q，再求 a3a 的方法是不行的，而应寻求 a3 a 整体与已知条之间的关系解法一：设此等比数列的公比为 q，由条得a1qa1q2即 a12q4(q21)22，又 an0，得 q0a1q2(q21）a3
7、aa1q2a1q4a1q2(q21)解法二：a2a42a3aa4a62由等比数列性质得 a322a3aa22 即(a3a)22，又 an0，a3 a评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的2在等比数列中，a11，qR 且|q|1，若 aa1a2a3a4a，则等于 （ ） A9 B10 11 D12解：a a1a2a3a4aa1q1+2+3+4 a1q10a1q111又a1 1，a q11 1，11 答案：3非零实数 x、 、z 成等差数列，x1、 、z 与 x、 、z2 分别成等比数列，则等于（ ）A10 B12 14 D1
8、6 解：由已知得 2xz2（x1）z2 x （z2） 2xz2（ x1）zz2x 23x2（x1）2x 12答案：B4有四个数，前三个数成等比数列，其和为 19，后三个数成等差数列，其和为 12，求此四数解：设所求的四个数分别为 a，xd，x，xd则（xd）2ax a（xd）x19 （xd）x（xd）12 解得 x4，代入、得（4d）24a a d11 解得 a 2d14 或 a9d2 故所求四个数为 2，10，4，18 或 9，6，4，2在数列an和bn中，an0，bn0，且 an，bn，an+1 成等差数列，bn，an+1，bn+1 成等比数列，a1 1， b12，a23，求anbn 的值
9、分析：关键是求出两个数列的通项公式根据条，应注意两个数列之间的联系及相互转换解：由题意知：2bnanan 1 an12bnbn1 an+1bnbn1 ， anbnbn1 (n2)代入得 2bnbnbn1 bnbn1 即 2bn bn1 bn1 (n2)bn 成等差数列，设公差为 d又 b12，b2a22b1 92 ，db2 b1 3222 22bn 2 22（n1）22（n1） ，bn12 （n1）2，当 n2 时，an bnbn 1 n（n1）2 且 a11 时适合于 式，故 anbn nn 1 评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列
10、通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列6设 x2，且 x，x，x，x 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列分析：先由 x2，可知 xxx，下只需讨论 x 和 x的大小关系，分成两种情况讨论解：x 2，xx，xx，而 x 1x当 x x时，由 x ，x，x，x 顺次构成等比数列则有 x x（ x） （x） （x）2（x）x 解方程组得 x72 ，72 2 所求等比数列为 22，232 2 ，12172 2 ，70992 2 当 x x时，由 x， x ，x，x 顺次构成等比数列则有 x x（ x）2x （x）（x）x 解方程组得112 ，这与2 矛盾，故这种情况不存在 7有四个数，前三个
11、数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为 21，中间两项的和为 18，求这四个数分析一：从后三个数入手解法一：设所求的四个数为 （xd）2x ，xd，x，xd，根据题意有（xd）2x （xd）21（xd）x18 ，解得 x12d6 或 x274 d92 274 所求四个数为 3，6，12，18 或 74 ，44 ，274 ，94 分析二：从前三数入手解法二：设前三个数为 xq ，x，xq，则第四个数为 2xqx依题设有 xq 2xqx21xxq18 ，解得 x6q2 或 x44 q3 故所求的四个数为 3，6，12，18 或 74 ，44 ，274 ，94 分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手解法三：设欲求的四数为 x， ，18，2x，由已知得：2x（18）2（18）（21x） ，解得 x36 或 x74 44 所求四数为 3，6，12，18 或 74 ，44 ，274 ，94
