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1、第八章平面向量 (高中数学竞赛标准教材)第八 平面向量一、基础知识定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为 1 的向量称为单位向量。定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量） ，规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理 2 非零向量 a, b 共线的充
2、要条是存在实数 0，使得 a= f定理 3 平面向量的基本定理，若平面内的向量 a, b 不共线，则对同一平面内任意向是，存在唯一一对实数 x, ，使得=xa+b，其中 a, b 称为一组基底。定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与 x 轴，轴方向相同的两个单位向量 i, 作为基底，任取一个向量，由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, ，使得=xi+i，则（x, ）叫做坐标。定义 4 向量的数量积，若非零向量 a, b 的夹角为 ，则 a, b 的数量积记作 a，也称内积，其中|b|s 叫做 b 在 a 上的投影（注：投影可能为负值） 。定理 4 平面向量的坐标运算：若 a=(x1, 1)
3、, b=(x2, 2)，1a+b=(x1+x2, 1+2), a-b=(x1-x2, 1-2) ，2a=(x1, 1), a，3ab=x1x2+12, s(a, b)= (a, b 0),4 a/b x12=x21, a b x1x2+12=0定义 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1，p2 的一点，则存在唯一实数 ，使 ， 叫 P 分 所成的比，若为平面内任意一点，则 。由此可得若 P1， P，P2 的坐标分别为(x1, 1), (x, ), (x2, 2)，则 定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上所有的点按照向量a=(h, )的方向，平移|a|= 个单位得到图形 ，这一
4、过程叫做平移。设p(x, )是 F 上任意一点，平移到 上对应的点为 ，则 称为平移公式。定理 对于任意向量 a=(x1, 1), b=(x2, 2), |a|b|，并且|a+b|a|+|b|【证明】 因为|a|2b|2= -(x1x2+12)2=(x12-x21)20，又|a|b|0，所以|a|b|由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n 维向量，a=(x1, x2,xn)，b=(1, 2, , n)，同样有|a|b|，化简即为柯西不等式： (x11+x22+xnn)20，又|ab|0, |a|b|0，所以|a|b|由向量的三角形法
5、则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n 维向量，a=(x1, x2,xn), b=(1, 2, , n)，同样有|a|b|，化简即为柯西不等式： (x11+x22+xnn)2。2）对于任意 n 个向量，a1, a2, ,an，有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。二、方向与例题1向量定义和运算法则的运用。例 1 设是正 n 边形 A1A2An 的中心，求证： 【证明】 记 ，若 ，则将正 n 边形绕中心旋转 后与原正 n 边形重合，所以 不变，这不可能，所以 例 2 给定AB ，求证： G 是 AB 重心的充要条是 【证明】必
6、要性。如图所示，设各边中点分别为 D，E，F，延长AD 至 P，使 DP=GD，则 又因为 B 与 GP 互相平分，所以 BPG 为平行四边形，所以 BG P，所以 所以 充分性。若 ，延长 AG 交 B 于 D，使 GP=AG，连结 P，则 因为 ，则 ，所以 GB P，所以 AG 平分 B。同理 BG 平分 A。所以 G 为重心。例 3 在凸四边形 ABD 中，P 和 Q 分别为对角线 BD 和 A 的中点，求证：AB2+B2+D2+DA2=A2+BD2+4PQ2。【证明】 如图所示，结结 BQ，QD。因为 ，所以 = = 又因为 同理 ， ， 由，可得 。得证。 2证利用定理 2 证明共
7、线。例 4 AB 外心为，垂心为 H，重心为 G。求证：，G，H 为共线，且 G：GH=1：2。【证明】 首先 = 其次设 B 交外接圆于另一点 E，则连结 E 后得 E 又 AH B，所以 AH/E。又 EA AB，H AB，所以 AHE 为平行四边形。所以 所以 ，所以 ，所以 与 共线，所以，G，H 共线。所以 G：GH=1：2。3利用数量积证明垂直。例 给定非零向量 a, b 求证：|a+b|=|a-b|的充要条是 a b【证明】|a+b|=|a-b| (a+b)2=(a-b)2 a2+2ab+b2=a2-2ab=0 a b例 6 已知AB 内接于 ，AB=A ，D 为 AB 中点，E
8、 为 AD 重心。求证：E D。【证明】 设 ，则 ，又 ，所以 a(b-) （因为|a|2=|b|2=|2=|H|2）又因为 AB=A，B=，所以 A 为 B 的中垂线。所以 a(b-)=0 所以 E D。4向量的坐标运算。例 7 已知四边形 ABD 是正方形，BE/A，A=E ，E 的延长线交BA 的延长线于点 F，求证： AF=AE。【证明】 如图所示，以 D 所在的直线为 x 轴，以为原点建立直角坐标系，设正方形边长为 1，则 A，B 坐标分别为（-1，1）和（0，1） ，设 E 点的坐标为（x, ） ，则 =(x, -1), ，因为 ，所以-x-(-1)=0又因为 ，所以 x2+2=
9、2由，解得 所以 设 ，则 。由 和 共线得 所以 ，即 F ，所以 =4+ ，所以 AF=AE。三、基础训练题1以下命题中正确的是_ a=b 的充要条是|a|=|b| ，且a/b；(ab；若a，则 b=；若 a, b 不共线，则 xa+b=a+nb 的充要条是 x=, =n；若 ，且 a, b 共线，则 A，B ， ，D 共线；a=(8, 1)在 b=(-3, 4)上的投影为-4。2已知正六边形 ABDEF，在下列表达式中： ； ； ； 与 ，相等的有_3已知 a=-x, b=2x-, |a|=|b|=1, ab=0，则|x|+|=_4设 s, t 为非零实数， a, b 为单位向量，若|s
10、a+tb|=|ta-sb|，则 a 和b 的夹角为_已知 a, b 不共线， =a+b, =la+b，则“l-1=0”是“，N，P 共线”的_条6在AB 中，是 A 中点，N 是 AB 的三等分点，且 ，B 与 N 交于 D，若 ，则 =_7已知 不共线，点分 所成的比为 2， ，则 _8已知 =b, ab=|a-b|=2，当AB 面积最大时，a 与 b 的夹角为_9把函数=2x2-4x+的图象按向量 a 平移后得到=2x2 的图象，=(1, -1), 若 ，b=4 ，则 b 的坐标为_10将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转 得到向量 b，则 b的坐标为_11在 RtBA 中，已知
11、 B=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，试问 与 的夹角 取何值时 的值最大？并求出这个最大值。12在四边形 ABD 中， ，如果aa，试判断四边形 ABD 的形状。 四、高考水平训练题1点是平面上一定点，A，B，是此平面上不共线的三个点，动点 P 满足 则点 P 的轨迹一定通过 AB 的_心。2在AB 中， ，且 a0，则 AB 的形状是_3非零向量 ，若点 B 关于 所在直线对称的点为 B1，则 =_4若为AB 的内心，且 ，则 AB 的形状为 _设点在AB 内部，且 ，则 AB 与A 的面积比为_6P 是AB 所在平面上一点，若 ，则 P 是 AB 的_心7已知 ，则|
12、|的取值范围是_8已知 a=(2, 1), b=(, 1)，若 a 与 b 的夹角为锐角，则 的取值范围是_9在AB 中，为中线 A 上的一个动点，若 A=2，则 的最小值为_10已知集合=a|a=(1, 2)+ (3, 4), R，集合 N=a|a=(-2, -2)+ (4, ), R, N=_11设 G 为AB 的重心，过 G 的直线与边 A 和 B 分别交于 P 和Q，已知 ，AB 与PQ 的面积分别为 S 和 T，（1）求=f(x)的解析式及定义域；（2）求 的取值范围。12已知两点（-1，0） ，N（1，0） ，有一点 P 使得 成公差小于零的等差数列。（1）试问点 P 的轨迹是什么
13、？（ 2）若点 P 坐标为(x0, 0), 为 与 的夹角，求 tan 五、联赛一试水平训练题1在直角坐标系内，为原点，点 A，B 坐标分别为（1，0） ，（0，2） ，当实数 p, q 满足 时，若点，D 分别在 x 轴，轴上，且 ，则直线 D 恒过一个定点，这个定点的坐标为_2p 为AB 内心，角 A，B，所对边长分别为 a, b, 为平面内任意一点， 则 =_（用 a, b, , x, , z 表示）3已知平面上三个向量 a, b, 均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|a+b+|1( R)，则的取值范围是 _4平面内四点 A，B， ，D 满足 ，则 的取值有 _个已知 A1A2A
14、3A4A 是半径为 r 的内接正五边形，P 为上任意一点，则 取值的集合是_6为AB 所在平面内一点， A，B，为AB 的角，若sinA ，则点为AB 的_心7对于非零向量 a, b, “|a|=|b|”是“(a+b) (a-b)”的_条8在AB 中， ，又()=1：2：3，则 AB 三边长之比|a|：|b|：|=_9已知 P 为AB 内一点，且 ，P 交 AB 于 D，求证： 10已知AB 的垂心为 H， HB，HA，HAB 的外心分别为1，2，3，令 ，求证：（1）2p=b+-a ；（2）H 为 123 的外心。11设坐标平面上全部向量的集合为 V，a=(a1, a2)为 V 中的一个单位
15、向量，已知从 V 到 的变换 T，由 T(x)=-x+2(xa)a(xV)确定，（1）对于 V 的任意两个向量 x, , 求证：T(x)T()=x；（2）对于 V 的任意向量 x，计算 TT(x)-x；（3）设 u=(1, 0)； ，若 ，求 a六、联赛二试水平训练题1已知 A，B 为两条定直线 AX，B 上的定点， P 和 R 为射线AX 上两点，Q 和 S 为射线 B 上的两点， 为定比， ，N，T 分别为线段 AB，PQ，RS 上的点， 为另一定比，试问，N，T 三点的位置关系如何？证明你的结论。2已知 A，E 是正六边形 ABDEF 的两条对角线，点， N 分别内分 A，E ，使得 A：A=N：E=r，如果 B，
