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1、浅谈高中数学中的概率论知识徐荷花澜沧一中摘要：概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支. 在高中数学中 , 粗浅的介绍了概率论与数理统计的基本知识, 但同学们仍然对概率论的整体图景没有一个清晰的认识. 本文通过对概率论基本概念的介绍, 引入两大概型, 并浅略的介绍一下 Monte-Carlo 方法和 Bertrand奇论. 关键词：概率论; 古典概型; 几何概型; Monte-Carlo 方法 ; Bertrand 奇论;A Brief Introduction to the Probability Theory of Mathematical Teaching in High SchoolA
2、bstract: The Probability theory is a branch of mathematics which aims to study the laws of random phenomena. In high school, students have learnt how to solve simple probability problems, but they still do not have a clear understanding to the Probability theory. In this article, we will introduce t
3、he basic concepts of the Probability theory; advance the classical probability models and geometrical probability models. Eventually, we will give a brief introduction to Monte-Carlo method and Bertrand Paradox. Key words: the Probability theory; Classical probability models; Geometrical probability
4、 models; Monte-Carlo method; Bertrand Paradox; 一、 引言概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支. 在高中数学中 , 粗浅的介绍了概率论与数理统计的基本知识, 但同学们仍然对概率论的整体图景没有一个清晰的认识. 本文通过对概率论基本概念的介绍, 引入两大概型, 并浅略的介绍一下 Monte-Carlo 方法和 Bertrand 奇论.二、 概率论研究的对象和任务一类现象, 在个别实验或观测中呈现出不确定性, 在大量重复实验或观测时, 又具有统计规律性, 我们称它是随机现象. 随机现象中事件发生的可能性大小是客观存在的, 因此可以对他进行量度. 量
5、度的数量指标就是概率. 三、 事件与概率一个试验, 如果在一定条件下可重复, 试验结果不止一个, 并且每次试验时, 我们不能肯定是哪一个结果出现, 这样的试验称为随机试验. 随机试验里最基本的不能在分解的结果叫做基本事件. 由若干个基本结果组合而成的集合, 我们称之为复合事件 . 基本事件和符合事件, 泛称事件. 利用集合论的概念, 我们定义如下：设 是一个抽象的非空点集 的一些子集组成的集合, 满足 1 2 若 , 则 3 若 则, =1, 2, , =1则称 为事件域. 称 中每一元素为事件. 且有以下定理：1 2 若 则, =1, 2, , =14 如至多可列个 则至多可列次的交集, =
6、1, 2, , 3 如 , 则, 对以上定理我们不加证明, 有兴趣的读者可以自行阅读相关书籍. 四、 概率的定义事件的概率可以看成以事件为自变量的一个函数. 严格的定义如下1 非负性： ()0, 2 正则性： ()=13 可列可加性：若 且两两不相交, 即 , 便有, =1, 2, , =, (=1)=1()则称 P 为定义在 上的概率. 称 P(A)是事件 A 的概率. 对于概率的性质, 我们有以下定理：1 ()=02 有限可加性：若 且两两不相交, 则, =1, 2, , , (=1)=1()3 设 , 则 ()=1()4 单调性：如果 , 则 ()()5 连续性：设 单调, 即 或即 ,
7、 此时分别定义 +1 +1, =1, 2, 或 , 则lim=1 lim=1 (lim)=()对于我们所观测的对象 , 定义了基于集合论的事件体 和基于测度论的概率, 我们称 三元体 为概率空间. (, , )五、 两大概型1. 古典概型基本事件个数有限且等可能的概率模型, 称之为古典概型. 在古典概型中, 可记空间 , 每一个 为一个样本点或一个基本场合, =1, 2, , 基本事件的概率 , 而 由 的一切子集组成. 若事件 A 中有(1)=()=1, =1, 2, 个样本点, 则 . 有时也记为含义更清楚的 . 这样 ()= ()=两点分布, 二项分布 , 泊松分布 , 几何分布与超几何
8、分布都是古典概型. 2. 几何概型古典概型, 其基本事件有限且等可能. 而几何概型则基本事件无限, 且“等可能”. 为了说明这一点, 我们首先引出 L-可测的概念. L-可测：一个区域或集合, 若其 n 维体积可测, 则称其为 n 维 Lebesgue 可测, 记为 L-可测. 有了 L-可测 , 我们如下定义几何概型. 设 为 中一个 L-可测区域, 且 为 中所 L-可测子集. 令 0(), , 且 . 则此种概型称为几何概型 . ()=()/(), , 3. Monte-Carlo 方法(Buffon 问题) 平面上画有一族平行线 , 相邻两针相距为 a. 从上方足够高度处向此处投一长为
9、 l (a) 的针 . 求此针与平行线相交的概率 p. 解: 记 x 为针的中点到这条直线的距离; 为针与这条直线的夹角. 于是=(, )|02, 0 =(, )|2sin, (, )从而针与平行线相交的概率=()()=02sin12=2注意到频率的稳定性, 如果投针次数为 N, 相交次数为 , 则当 N 足够大时, (), 故 =2 2也就是说，只要合理的选定 a 和 l (a) . 并耐心的做这种投针试验足够多次 , 就能够以相当高的精度求出 的近似值. 数学家们做了这种试验, 一些结果如下表所示: 实验者 年代 试验次数 求得的 Wolf 1850 5000 3.1596Smith 18
10、55 3204 3.1533De Morgan, C. 1860 600 3.137Fox 1884 1030 3.1595Lazzarini 1901 3408 3.1415929Reina 1925 2520 3.1795像这样, 设计一个简单的试验, 用概率统计的方法去求一个复杂问题的近似解, 这就是著名的 Monte-Carlo 方法.4. Bertrand 奇论问题: 在单位圆内随机的取一条弦, 求其长超过该圆内接等边三角形边长 的概率 p. 3这个几何概率问题, 基于对术语 “随机的” 含义的不同解释 , 存在多种不同的答案.解 I 任何弦交圆周两点, 不失一般性, 先固定其中一定
11、 A 于圆周上, 以此点为顶点做一等边三角形. 显然只有落入此三角形内的弦才满足要求, 这种弦的另一端 B 跑过的弧长为整个圆周的 1/3, 故所求概率等于 1/3. 解 II 弦长只与它与圆心的距离相关, 而与方向无关, 因此可以假定它垂直于某一直径, 且当且仅当它与圆心的距离小于 1/2 时, 其长才大于 , 因此所求的概率为 1/2. 3解 III 弦被其中点唯一确定. 当且仅当其中点属于半径为 1/2 的同心圆内时, 弦长大于 . 此小圆面积为大圆面积的 1/4, 故所求概率为 1/4.3参考文献：1 葛余博. 概率论与数理统计. 北京: 清华大学出版社, 2005 年2 王晓峰 等. 概率论与数理统计教程. 北京: 高等教育出版社, 2007 年3 Gridgeman, N T. Geometric Probability and Number . Scripta Mathematica, 1960, 25 : 1831954 DeGroot M H. Probability. Andsson and Weiley. 1975
