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1、初三数学开放与探索总复习专题三开放与探索开放探索型问题有条开放与探索、结论开放与探索、条结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐题型以填空题、解答题为主考向一条开放问题条开放探索问题的特征是缺少确定的条，所需补充的条不能由结论直接推出，而满足结论的条往往也是不唯一的【例 1】 如图，已知 ABD 于点 P，APP ，请增加一个条：使ABP DP(不能添加辅助线 )，你增加的条是_解析：要证明ABP DP，已经给出了两个条：APP，ABD(即 APBPD90)，根据证明两个三角形全等的判断方法，可以添加一个条角或者边答
2、案：A ，BD，AB D，BPDP，ABD (任选其中一个)方法归纳 解决此类题的方法是：从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条， 逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条考向二结论开放问题结论开放探索问题是给出问题的条，让解题者根据条探索相应的结论，符合条的结论往往呈现多样性【例 2】 (2011 广东河)如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是AB 上的动点(P 不与 A，B 重合)，分别以 AP，PB 为边向线段 AB的同一侧作正AP 和正 PBD(1)当 AP 与 PBD 的面积之和取最小值时，AP_(直接写结果)(2)连接 AD，B ，相交于点 Q，设
3、AQ ，那么 的大小是否会随点 P 的移动而变化？请说明理由(3)如图 2，若点 P 固定，将PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转( 旋转角小于 180)，此时 的大小是否发生变化？(只需直接写出你的猜想，不必证明)图 1图 2分析：(1)设等边 AP 边长为 x，高为 32x，则面积为 34x2，则等边BDP 边长为 2ax ，高为 32(2ax)，则面积为 34(2ax)2，面积之和为 S34x2 34(2a x)232x23ax3a2 ，这是一个二次函数的最值问题当 xa 时， S 最小32a2(2)判别 的大小是否会随点 P 的移动而变化，只需计算AQ (3)根据 (2)证明 过程或直观
4、可得结论解：(1)a(2) 的大小不会随点 P 的移动而变化理由：AP 是等边三角形，PAP，AP60BDP 是等边三角形，PBPD ，BPD60，APBPD，APDPB ，APDPB，PADPB QAPQA AP120 ，QP QA AP120，AQ 18012060(3)此时 的大小不会发生改变，始终等于 60方法归纳 解答本题将等边三角形的面积用二次函数表示是解答本题的难点解答结论开放性问题常常需要借助直观或特殊化方法探求考向三条与结论开放问题条、结论开放探索问题是指条和结论都不唯一，此类问题没有明确的条和结论，并且符合条的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中
5、进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系【例 3】 (1)如图 1，在正方形 ABD 中，是 B 边(不含端点 B，)上任意一点，P 是 B 延长线上一点，N 是DP 的平分线上一点若AN90，求证：AN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边 AB 上截取 AE，连接 E 正方形 ABD 中，B BD90，AB B N180ANAB 180BABABAE(下面请你完成余下的证明过程)图 1图 2(2)若将 (1)中的“正方形 ABD”改为“正三角形 AB”(如图 2)，N 是AP 的平分线上一点，则当AN60时，结论 AN 是否还成立？请说明理由(
6、3)若将 (1)中的“正方形 ABD”改为“正 n 边形 ABDX”，请你作出猜想：当AN_ 时，结论 AN 仍然成立(直接写出答案，不需要证明)分析：证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等(1)中给出了线段 E，即想提示考生证明 AEN 由题目中的条知，只需再找一角即可(2)中解法同(1)，在 AB 上构造出线段 AE，连接 E 进一步证明 AEN(3) 是将(1)(2)中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：AN 与正多边形的内角度数相等解：(1) AE，BE B，BEEB4，AE13N 平分DP，PN4 ，AE N 13在AE 和 N 中，AEN，AE， EA N，AE
7、N，AN(2)仍然成立在边 AB 上截取 AE，连接 EAB 是等边三角形，AB B，BAB 60，AP 120AE ，BEB，BEEB60，AE 120N 平分AP，PN60 ，AE N120N180ANAB 180BABBA，AE N，AN(3)(n2)180n方法归纳 解答本题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行一般地，解答条、结论开放探索问题，即条和结论都不确定，首先要认定条和结论，然后组成一个新的命题并加以证明或判断一、选择题1如图，在网格中有一个直角三角形(网格中的每个小正方形的边长均为 1 个单位长度)，若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原的直角三角形一起组成一个等腰三
8、角形，要求新三角形与原的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有()A4 个 B 6 个 7 个 D9 个2根 据图 1 所示的程序，得到了与 x 的函数图象(如图 2)，过点作 PQx 轴交图象于点 P，Q，连接 P，Q 则以下结论x0 时，2x，PQ 的面积为定值，x0 时，随 x 的增大而增大，Q2P，PQ 可以等于 90图 1 图 2其中正确的结论是 ()A B D二、填空题3在四边形 ABD 中， ABD，AD B请再 添加一个条 ，使四边形 ABD 是矩形你添加的条是 _( 写出一种即可)4若关于 x 的方程 x2x30
9、 有实数根，则的值可以为_(任意给出一个符合条的值即可)三、解答题如图，将AB 的顶点 A 放在上，现从 A 与相切于点 A(如图 1)的位置开始，将AB 绕着点 A 顺时针旋转，设旋转角为 (0120)，旋转后 A，AB 分别与交于点 E，F，连接 EF(如图 2)已知BA60，90，A8，的直径为 8图 1图 2备用图(1)在旋转过程中，有以下几个量：弦 EF 的长；EF 的长；AFE 的度数；点到 EF 的距离其中不变的量是_(填序号) (2)当 B 与相切时，请直接写出 的值，并求此时 AEF 的面积6如图 1，AB 与 EFD 为等腰直角三角形， A 与 DE 重合，AB AEF 9
10、，BA DEF 90，固定AB，将DEF 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE，DF( 或它们的延长线)分别交 B(或它的延 长线)于 G，H 点，如图 2(1)问：始终与 AG 相似的三角形有_及_；(2)设 Gx，BH ，求关于 x 的函数关系式 (只要求根据图 2 情形说明理由)；(3)问：当 x 为何值时，AGH 是等腰三角形？图 1图 27已知：如图所示的一张矩形纸片 ABD(ADAB)，将纸片折叠一次，使点 A 与点重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点 E，交B 边于点 F，分别连接 AF 和 E (1)求证
11、：四边形 AFE 是菱形；(2)若 AE10 ，ABF 的面积为 24 2，求 ABF 的周长；(3)在线段 A 上是否存在一点 P，使得 2AE2AAP？若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由8已知：二次函数x2bx3 的图象经过点 P(2,)(1)求 b 的值，并写出当 1x3 时的取值范围(2)设点 P1(，1) ，P2(1，2)，P3(2，3)在这个二次函数的图象上当4 时，1，2，3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由当取不小于的任意实数时，1，2，3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由参考答案专题提升演练1以较短的直角边为公共边可以画三个符合
12、要求的三角形，以较长的直角边为公共边也可以画三个符合要求的三角形，以斜边为公共边也可以画一个符合要求的三角形，这样可以画七个符合要求的三角形，故选2B根据图中所示程序，可得与 x 的函数关系式为2x(x0)，易知错误；PQx 轴，点 P 在2x 上，SP12P12|1，同理可得 SQ2，SPQSPSQ123，正确；当 x0 时，4x，随 x 的增大而减小，错误；设a，当a 时， P 点的横坐标为2a，Q 点的横坐标为 4a，则 P2a ，Q4a，则 Q2P，正确；当点在轴的正半轴上由下向上运动时，PQ 由 180逐渐变小至 0，PQ 可以等于 90，正确3A90或B90或90或D 90或 AB
13、D(答案不唯一，写出一种即可)由已知条 ABD，ADB ，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再要使 ABD 是矩形，根据判定矩形的方法，只需有一个角为直角的平行四边形即为矩形，或者对角线相等的平行四边形是矩形，所以可添的条为角是直角或对角线相等4答案不唯一，所填写的数值只要满足 212即可，如 4 等由于这个方程有实数根，因此 b24a ()2122120 ，即212解：(1)(2)90依题意可知， AB 旋转 90后 A 为直径，且点与点 E重合，因此AFE90A8，BA60，AF12A4，EF 43，S AEF12443836解：(1) HGA HAB(2)由 (1)可知 AGHA
14、B，GABABH，即 x99，81x(3)由 (1)知 AGHGA要使AGH 是等腰三角形，只要AG 是等腰三角形即可有两种情况，(1)G 为底，AAG 时，得 AG9，此时 G 等于 92，(2)G为腰，GAG 时，此时 G9227解：(1)证明：由折叠可知 EFA，AADB，EA F ，AEFAE FE F四边形 AFE 是菱形(2)由 (1)得 AFAE10设 ABa ，BFb，得a2b2 100，ab482 得(ab)2196，得 ab14(另一负值舍去)ABF 的周长为 24 (3)存在，过点 E 作 AD 的垂线交 A 于点 P，则点 P 符合题意证明：AEPAE90，EAPAE，AE AEPAAEAEAP，得 AE2AAP，即2AE22AAP又 A2A，2AE2AAP8解：(1)
