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1、中考数学复习：一元二次方程与二次函数中考数学专题 4 一元二次方程与二次函数第一部分 真题精讲【例 1】已知：关于 的方程 求证： 取任何实数时，方程总有实数根；若二次函数 的图象关于 轴对称求二次函数 的解析式；已知一次函数 ，证明：在实数范围内，对于 的同一个值，这两个函数所对应的函数值 均成立；在条下，若二次函数 的图象经过点 ，且在实数范围内，对于 的同一个值，这三个函数所对应的函数值 ，均成立，求二次函数 的解析式【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论=0 和0 两种情况，
2、然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为 0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数 恰好是抛物线 的一条切线，只有一个公共点（1，0） 。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将 用只含 a 的表达式表示出,再利用 ,构建两个不等式,最终分析出 a 为何值时不等式取等号 ,于是可以得出结果【解析】解：（1）分两种情况：当 时，原方程化为 ，解得 ， （不要遗漏）当 ，原方程有实数根 当 时，原方程为关于 的一元二次方程， 原方程有两个实数根 （如果上面的
3、方程不是完全平方式该怎样办？再一次根的判定，让判别式小于 0 就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述， 取任何实数时，方程总有实数根 （2）关于 的二次函数 的图象关于 轴对称， （关于轴对称的二次函数一次项系数一定为 0） 抛物线的解析式为 ， （判断大小直接做差） （当且仅当 时，等号成立） （3）由知，当 时， 、 的图象都经过 （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）对于 的同一个值， ， 的图象必经过 又 经过 ， （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设 对于 的同一个值，这三个函数所对应的函数值 均成立， ， 又根据 、 的图象可得
4、， （a0 时,顶点纵坐标就是函数的最小值） 而 只有 ，解得 抛物线的解析式为 【例 2】关于 的一元二次方程 （1）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点 是抛物线 上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条下，若点 与点 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线=x+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为=x+b
5、 的形式并未包括斜率不存在即垂直于 x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能【解析】：（1）由题意得 解得 解得 当 且 时，方程有两个不相等的实数根 （2）由题意得 解得 （舍） (始终牢记二次项系数不为 0)（3）抛物线的对称轴是 由题意得 (关于对称轴对称的点的性质要掌握)与抛物线有且只有一个交点 (这种情况考试中容易遗漏) 另设过点 的直线 （ ）把 代入 ，得 ， 整理得 有且只有一个交点， 解得 综上，与抛物线有且只有一个交点 的直线的解析式有 ， 【例 3】已知 P（ )和 Q（1， ）是抛物线 上的两点（1）求 的值；（2）判
6、断关于 的一元二次方程 =0 是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线 的图象向上平移 （ 是正整数）个单位，使平移后的图象与 轴无交点，求 的最小值【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现 P,Q 纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出 b。 第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的 x)
7、,上加下减(表达式整体)然后求出结果。【解析】(1)因为点 P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以 P、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等所以，抛物线对称轴 ，所以， （2）由（1）可知，关于 的一元二次方程为 =0因为， =16-8=8 0所以，方程有两个不同的实数根，分别是， （3）由（1）可知，抛物线 的图象向上平移 （ 是正整数）个单位后的解析式为 若使抛物线 的图象与 轴无交点，只需 无实数解即可由 = = 0，得 又 是正整数，所以 得最小值为 2【例 4】已知抛物线 ，其中 是常数（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若 ，且抛物线与 轴交于整数点（坐标为整数的点） ，求此抛
8、物线的解析式【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将 a 提出,里面就是一个关于 X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间第二问则需要把握抛物线与 X轴交于整数点的判别式性质这和一元二次方程有整数根是一样的尤其注意利用题中所给 ,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值（1）依题意，得 ， 抛物线的顶点坐标为 （2）抛物线与 轴交于整数点， 的根是整数 是整数 ， 是整数 是整数的完全平方数 ， (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手) 取 1，4，当 时， ； 当 时， 的值为 2 或 抛物线的解析式为 或 【例】已知：关于 的一元二次方
9、程 （ 为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；（2）在（1）的条下，求证：无论 取何值，抛物线 总过 轴上的一个固定点；（3）若 是整数，且关于 的一元二次方程 有两个不相等的整数根，把抛物线 向右平移 个单位长度，求平移后的解析式【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式0 就可以了，依然不能遗漏的是-10。第二问则是比较常见的题型一般说求固定点既是求一个和未知系数无关的 X,的取值对于本题说,直接将抛物线中的提出,对其进行因式分解得到=(x-x-1)(x+1)就可以看出当 x=-1 时,=0，而这一点恰是抛物线横过的 X 轴上固定点如果想不到因式分解 ,由于本题固定点的
10、特殊性(在 X 轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解得快至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单解：（1） 方程有两个不相等的实数根, , 的取值范围是 且 （2）证明：令 得 (这样做是因为已经知道判别式是 ,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)抛物线与 轴的交点坐标为 ,无论 取何值，抛物线 总过定点 （3） 是整数 只需 是整数 是整数，且 , 当 时，抛物线为 把它的图象向右平移 个单位长度，得到的抛物线解析式为【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容
11、，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于 0，不要忘记二次项系数为 0 或者不为 0 的情况。第 2,3 问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。第二部分 发散思考【思考 1】已知关于 的一元二次方程 有实数根， 为正整数（1）求
12、 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 的二次函数 的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条下，将平移后的二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时， 的取值范围 【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了第一问自不必说，判别式大于 0 加上为正整数的条求很简单第二问要分情况讨论当取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去 8 但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟
13、练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变然后利用画图解决问题【思考 2】已知：关于 的一元二次方程 （1）若 求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若 1240 的整数，且方程有两个整数根，求 的值【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式计算利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察【思考 3】已知: 关于 x 的一元一次方程 x=x+2 的根为正实数，二次函数=ax2-bx+（0）的图象与 x 轴一个交点的横坐标为 1（1）若方程的根为正整数，求整数的值；（2）求代数式
14、的值；（3）求证: 关于 x 的一元二次方程 ax2-bx+=0 必有两个不相等的实数根【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论的取值即可。第二问则需要将用 a,b 表示出,然后代入代数式进行转化第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条所带的不等式,去证明二次方程根的判别式大于 0 但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条去套未知条,从而无从下手导致失分 【思考 4】已知：关于 的一元二次方程 （1）求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根 满足 ，求 的值【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方去
15、绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出 ,发现 都是关于的一次表达式, 做差之后会得到一个定值于是问题轻松求解 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法第三部分 思考题解析【思考 1 解析】解：（1）由题意得， 为正整数， （2）当 时，方程 有一个根为零；当 时，方程 无整数根；当 时，方程 有两个非零的整数根综上所述， 和 不合题意，舍去； 符合题意当 时，二次函数为 ，把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象的解析式为 （3）设二次函数 的图象与 轴交于两点，则 ， 依题意翻折后的图象如图所示当直线 经过 点时，可得 ；当直线 经过 点时，可得 由图象可知，符合题意的 的取值范围为 【思考 2 解析】证明： 方程有两个不相等的实数根。 （2） 方程有两个整数根，必须使 且为整数又1240， 9=24 【思考 3 解析】解：由 x=x+2，得(-1) x=2依题意 -10 方程的根为正整数，为整数, -1=1 或-1=2 1= 2, 2=3 （2）解：依题意，二次函数=ax2-bx+ 的图象经过点（1，0） ， 0 =a-b+, = b-a = （3）证明：方程的判别式为 =(-b)2-4a= b2-4a 由 a0, 0, 得 a0( i )
