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1、河北联合大学 2012 级研究生学院：建筑工程学院 专业： 建筑与土木工程 学号： 姓名： 成绩： 数值积分及应用研究第一章 对象描述一、 数值积分及应用描述数值积分的多种问题及其在现代工程中的广泛应用的探讨是计算数学的一个重要课题，数值积分是数学上的重要课题之一，是数值分析中的重要内容之一，也是数学的研究重点。并在实际问题及应用中有着广泛的应用。常用于科学与工程的计算中，如涉及到积分方程，工程计算，计算机图形学，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有很重要的意义。研究方法有插值法和抽样插值法等。当然大家都知道计算积分可以借助原函数和查找积分表，但是，用这些方法只能
2、解决很狭隘的一类积分，而且在计算的过程中，肯定会产生误差，我们要想法子使得误差尽可能的小。因此，数值积分的公式应满足：计算简单，误差小，代数精度高等。近些年来，有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域，所以研究数值积分有很重要的意义。设 是闭区间 上某一给定的可积函数，现在要计算定积分 ，xfba, dxf)(我们可以借助原函数，或借助函数逼近的方法来计算，对于不熟悉的我们也可以借助参考积分表。但都有一定的局限性，由于许多函数的无定积分无法用简单的函数表达出来，如一些离散点上的函数。在微积分理论中，我们知道了牛顿莱布尼茨（Newton_Leibniz）公式：式（1.1）)()(aFbdx
3、f其中 在闭区间 上连续， 是被积函数 的某一个原函数，但是对于很多xfba,xf实际问题都无能为力。主要原因：1. 被积函数 的原函数 理论上存在，但无法用简单函数表示出来，即无法用与fxF上式计算，例如： 等初等函数；eyxsin,2. 被积函数 无法详尽描述，即没有可用的计算表达式，也就是如 是在一些离f xf散点上的函数，就无法显示微分方程的解。河北联合大学 2012 级研究生学院：建筑工程学院 专业： 建筑与土木工程 学号： 姓名： 成绩： 3. 被积函数 的原函数 ,表示相当复杂，求值困难。xfxF因此，需要研究计算定积分的近似方法，即数值积分法。当然，可积函数的种类是极其多的，那
4、么我们应该考虑满足：计算简单，误差小，代数精度高，故此，我们常寻找新的方法来修正已知的求积公式。当 的情况使得无法精确计算 时，若能已知 在部分点上的函数值，xf dxfbaxf利用已经学过的差值知识，可以构造一个多项式 来逼近被积函数 ，而多项式P为被积函数，在区间 上的定积分是容易计算的，这样得到计算定积分 的xPba, dxfba一种数值积分方法，即式（1.2）dxfbaba于是，就根据这一想法构造了计算积分的各种近似计算公式。二、 数值积分及应用的相关概念1. 求积节点，求积系数，权等概念若求积公式式（1.3）nikbaxfAdxf0)()(式中 称为求积节点， 称为求积系数，亦称伴随
5、节点 的权。kxk kx2. 求积公式的代数精度的概念若求积公式（1.3）中，若对任意次数不高于 次的多项式 均精确成立，而对某个m)(xf次的多项式不精确成立，则称该求积公式具有 次代数精度（Algebraic Accuracy） 。1m3. 求积公式的收敛性与稳定性在求积公式（1.3）中，若，xkhn dbafxfkA0lim其中 ，则称求积公式（1.3）是收敛的。ax11iinih河北联合大学 2012 级研究生学院：建筑工程学院 专业： 建筑与土木工程 学号： 姓名： 成绩： 对任给 ，若 ， 就有0n),.210(kfxfk式（1.4）0knknn ffAfIf成立，则称求积极分公式
6、（1.3）是稳定的。4. 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式将积分区间 等分，步长 ，取等距节点,bannabh ),.210(niihaxi 则柯特斯（Cotes）系数 dtnktttnkCnk 0)( )(1)()1)!1LL ),10(nkL牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式为式（1.5）nikba xfCadxf0)()(（又被称为 N-C 公式。下面给出几种特殊的 N-C 求积公式。（1）梯形求积公式：当 时， ，相应的求积公式n21)()1(0C式（1.6）)()(bfabdxfba称为梯形求积公式。（2）辛普森（Simpson）公式当 时， ， ， ，相应
7、的求积公式为n61)2(0C4)2(61)2(C式（1.7）)(2(4)( bfaffabdxfba （3）柯特斯（Cotes）公式河北联合大学 2012 级研究生学院：建筑工程学院 专业： 建筑与土木工程 学号： 姓名： 成绩： 当 时，令 ， ，求积公式4n4abkxk)4,321(式（1.8）)(7)()(790)( 43210 xffxfffdfba 称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式。 5.复化梯形积分若将积分区间 等分，步长 ，节点 在每个小nba,nab h )10(,n kh,axk L区间 上用梯形公式 ,1kx)10(, L式（1.9）)(2(bfabdxfb
8、a并求和 10)()(nkxbadfdf)()2 110kknkxffh)()(1nkfbfa得到的公式式（1.10）)(2)(21nkn xfbfahT称为复化梯形公式。6. 复化辛普森（Simpson）积分若将积分区间 分成 等分，步长 ，节点 ,bamn2nab hkhaxk在每个小区间 上使用 Simpson 公式)10(,n kL ,kx)(2(4)6( bfaffabdxfba 河北联合大学 2012 级研究生学院：建筑工程学院 专业： 建筑与土木工程 学号： 姓名： 成绩： 则有 )()(4)(6 )( 2122222 kkkkx xffxfxdfk )()(4)(32122kk
9、kfffh其中 ，对其求和可得22kxnabbadxf)(mkxkdf1 )(2 )()(4)(321212kkmkkxfffh )()()( 121202 mkkmkmk ffxf )()(4)(31212mkkmkxfxfbfah得到的公式式（1.11） )(2)(4)(3121mkkmkn xfxfbfahS则称为复化 Simpson 公式。7. 龙贝格(Romberg)求积公式Romberg 积分是一种最典型的外推算法，是利用逐次分半的梯形序列 ，经 Richardson kT2外推算法得到的求积公式。下面对改公式进行详细的介绍：对积分 ，使用复化梯形公式并记badxfI)(nT)(0
10、k)21kabI),10(Lk再根据 Euler-Maclaurin 公式，可得河北联合大学 2012 级研究生学院：建筑工程学院 专业： 建筑与土木工程 学号： 姓名： 成绩： LLikikkk ababaTfR 2421)(0 )()(),取其中的 ，由 Richardson 外推公式得2q 34)21()()( )(0)1(022 kkkkk TabIabII 设 ，则 ，且有)2(kabI)(1kT)(1k34)(0)1(0kkT),1L)2(),(4(1kkabOfR如此重复 Richardson 公式可得 14)2()()2(1mkkkm abIIabI若记 ，则上式可记为1k)(
11、kT式（1.12）)(km4)(1)(1mk,32,L),210k此式即为龙贝格(Romberg)求积公式。8. 高斯(Gauss)求积公式Gauss 型求积公式是指具有 次代数精度的形如 插值型求积公12n nkkbaxfAdxf0)()(式，其节点 称为 Gauss 点。nxxL,210下面介绍几种常用的 Gauss 型求积公式：（1）高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式式（1.13）nkkxfAdxf01)()(其 Gauss 点为 Legendre 多项式河北联合大学 2012 级研究生学院：建筑工程学院 专业： 建筑与土木工程 学号： 姓名： 成绩： )1()!1(2
12、)(21 nnnn xdxL ),210(L的零点，求积系数为212)()(knkkxA),10(nL（2）高斯-切比雪夫（Gauss - Chebyshev ）求积公式式（1.14）102)()(nkkxfAdxf其 Gauss 点及求积系数为， 1,2cosnkxkk ),10(nkL),210(L（3）高斯-拉盖尔（Gauss - Laguerre ）求积公式式（1.15）01)()(nkkxxfAdfe其 Gauss 点为 Laguerre 多项式)()(111nxnxnedL ),210(Ln的零点，求积系数为21)(!knkxLA),10(nkL（4）高斯-埃尔米特（Gauss H
13、ermite）求积公式式（1.16） nkkxfAdxfe1)()(2其 Gauss 点为 Hermite 多项)()1(22xnxnedH),210(L河北联合大学 2012 级研究生学院：建筑工程学院 专业： 建筑与土木工程 学号： 姓名： 成绩： 的零点，求积系数为 21)(!knkxHA),10(nkL三、 数值积分及应用的相关理论定理 1： 形如（1.3）式的求积公式至少有 次代数精度的充分必要条件是，它是插值n型的。定理 2： 若求积公式（1.3）中系数 ，则此求积公式是稳定的。0kA),1(L定理 3： 当阶 为偶数时，牛顿-柯特斯公式（1.5）至少有 次代数精度。n 1n定理
14、4： 设 ，则有,baCxf， 式（1.17）LlhhIT2421其中系数 与 无关。),21(Ll定理 5： 插值型求积公式（ 1.3）的节点 是高斯点的充分必要bxxan10条件是以这些节点为零点的多项式)()(101 nnxL与任何次数不超过 的多项式 带权 正交，即p式（1.18）01xndbax定理 6： 高斯求积公式（1.3）的求积系数 全是正的。kA),1(nL定理 7： 设 ，则高斯求积公式（1.3）是收敛的，即,bCxfxkn dxfAbafk)(lim0四、 数值积分及应用国外研究进展近几年来, 数值积分的文献有明显增多的趋势.例如,从1975至1979年间,仅美国的数学评论(Mathematical Revicws)上评述过的文章,每年都在百篇以上,其中还不包括有关Monte C arlo 方法和数值积分变换等方面的文献。只须对文献状况作一番粗略分析, 则不难发现四个特点,即:研究方法的多样性、研究对象的特殊性
