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1、中考数学一轮复习一元一次方程精品讲义第三 一元一次方程本小结小结 1 本内容概览本的主要内容包括：一元一次方程及其相关的概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题其标要求是：了解一元一次方程及其相关的概念和性质，掌握一元一次方程的解法和一般步骤，初步认识方程与现实生活的联系，建立列方程解决实际问题的数学模型，感受方程的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力小结 2 本重点、难点：本重点是一元一次方程的解法和列一元一次方程解应用题难点是根据具体问题中的数量关系列一元一次方程小结 3 本学法点津 1学好本的关键在于正确理解方程及方程的解的概念和等式的两个性质，了解算术和代数的主导
2、思想的区别及找准问题中的等量关系2在学习本时，要深刻理解方程的思想，即未知量可以和已知量一起表示数量关系，找到数量之间的等量关系就可列方程，即建立数学模型 “建模思想 ”和解方程中蕴涵的 “化归思想”是本渗透的主要数学思想另外，要加强练习，巩固好基础知识和基本技能因为一元一次方程是最基本的代数方程，学好它对于后续学习(其他的方程以及不等式、函数等)具有重要的作用知识网络结构图重点题型总结及应用题型一 灵活解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)去括号；(3) 移项；(4)合并同类项；() 把系数化为 1根据方程的特点，可灵活运用五个步骤，以简化运算例 1 解方程： 分析：
3、此题中括号外的系数是分数，小括号外的系数也是分数，这种类型的方程解法比较灵活，可以先去括号，再去分母；也可以先去分母，再去括号解法 1：去中括号，得 去小括号，得 去分母，得 2x x 1=4 x2移项，得 2 x x 4 x21合并同类项，得3 x3系数化为 1，得 x1解法 2：方程两边同乘 6，得 去中括号，得 2x(x1)=4(x )去小括号，得 2x x1=4 x2移项，得 2 x x4 x=21合并同类项，得3 x 3系数化为 1，得 x1点拨若方程中合有多层括号，则应按照分配律先由内向外(或由外向内)去括号，再去分母，但也有时先去分母，再去括号会更简便，这取决于所给方程的特点，因
4、此解方程时，应灵活地选取方法，尽量使过程简单，而又不产生错误例 2 解方程： 分析：本题按照常规的解方程的步骤，应先去分母，但考虑本题特点，可把 拆成 ，把 拆成 解解：原方程可写成 =1约分，移项，得 合并同类项，得x 系数化为 1，得 x 评注本题采用的是“拆项法 ”，此方法比常规方法简便，但这种方法不是对所有的一元一次方程都适用，需要根据方程的特点灵活应用题型二 方程的解的应用例 3 关于 x 的方程 2x43 和 x2有相同的解，则的值是( )A10 B8 10 D8解析：解方程 2x4=3，得 x= 解方程 x2，得 x2由两方程解相同，得 2，解得8答案：B例 4 已知 3 是 6
5、 ()2 的解，那么关于 x 的方程 2(x1)( 1)(3x4)的解是多少 ?分析：把3 代入第一个方程，使这个方程转化为关于的方程，解出的值，再代入第二个方程，求出 x 的值解：3 代入方程 6 ()2，得 6 (3) 6解得3将3 代入 2(x1)( 1)(3x4)，得23(x1)(31)(3x 4)解得 x 方法先利用第一个方程求出字母的值，再把值代入第二个方程解第二个方程，培养思考问题的综合能力题型三 一元一次方程的应用例 一通讯员骑摩托车需要在规定时间，把送到某地，若每小时走 60 千米，就早到 12 分钟；若每小时走 0 千米，则要迟到 7 分钟，求路程分析：如果设规定时间为 x
6、 小时，当每小时走 60 千米时，则路程为 60 千米；当每小时走 0 千米时，则路程为 0 千米这时可用路程相等列出方程解：设规定时间为 x 小时，根据题意，得 60 =0 解得 所以路程为 6 =60 9 千米答：路程为 9 千米例 6 某校校长暑假将带领该校市级 “三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠” 乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的六折优惠” ，若全票价为240 元， (1) 设学生数为 x，甲旅行社收费为甲，乙旅行社收费为乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；(2) 当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?分析：(1)问分别
7、用含 x 的式子表示甲、乙 (2)问是当甲=乙时求 x解：(1)因为全票价为 240 元，所以半票价为 120 元，这样甲旅行社收费为甲120x240又因为全票价为 240 元，所以全票价的 60为 240 =144(元)，这样乙旅行社收费为乙144x144(2) 因为甲旅行社收费为甲，乙旅行社收费为乙，所以当两家旅行社收费一样时，即有方程120x240144x144解这个方程，得 x4答：当学生数为 4 时，两家旅行社收费一样例 7 某商场将彩电先按原价提高 40，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了 270 元，那么每台彩电原价是多少元?分析：假设每台彩电原价是
8、x 元，则提高 40后为(140) x 元，八折为(1 40) x80元，也就是现售价为(140) x80元解：设每台彩电原价是 x 元，根据售价与原价之差等于 270，列方程得x (140)80x270，解得 x2 20 答：每台彩电原价是 2 20 元例 8 某中学租用两辆汽车(设速度相同)同时送 1 名带队老师及 7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐 4 人(不包括司机)其中一辆小汽车在距离考场 1 千米的地方出现故障，此时离截止进考场的时间还有 42 分，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是 60 千米时，人步行的速度是 千米时(上、下车时间忽略不计)(
9、1) 若小汽车送 4 人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场；(2) 假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时间前到达考场，并通过计算说明方案的可行性分析：本题是一道开放性的方案设计问题，解答时应注意分各种情况进行讨论解：(1) 3= (时)=4(分)因为 442，所以不能在限定时间内到达考场 (2) 方案：先将 4 人用车送到考场，另外 4 人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外 4 人的相遇处再载他们到考场 先将 4 人用车送到考场所需时间为 (时) 1(分) 时另外 4 人步行了 12 千米，此时他们与
10、考场的距离为 112137(千米) 设汽车返回 t(时) 后与步行的 4 人相遇，则有 t60t=137，解得t= 汽车由相遇点再去考场所需时间也是 小时所以用这一方案送这 8 人到考场共需 12 60404(分)42( 分) 所以这 8 个人能在截止进考场的时间前赶到题型四 图表类应用题例 9 (1)七年级(1) 班 43 人参加运土劳动，共有 30 根扁担，要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数相配不多不少?若设有 人挑土，填写下表：挑土抬土人数人扁担根即可知两个等量关系：挑土人数抬土人数43 人，挑土用扁担数抬土用扁担数30 根根据等量关系，列方程 ，解得 x ，因此挑土人数为 ，
11、抬土人数为 你能用其他方法计算这道题吗?(2) 如果参加劳动的人数不变，扁担数为 20 根可以吗?为什么?分析：有 x 人挑土，则用扁担 x 根，剩余的(43x) 人抬土，需用扁担数为 (43x) 根，可列方程为 x (43x)30，解得x17，即有挑土人数为 17，抬土人数为 4317=26还可以利用“挑土人数抬土人数43 人” 列方程解：(1) 列表如下：挑土抬土人数人 x43x扁担根 x (43x)x (43x)=30；17；17；26能设挑土用 x 根扁担，则抬土用(30x) 根扁担，挑土用 x 人，抬土用 2(30 x)人根据题意，得 x 2(30 x)43解得 x =17因此，挑土
12、人数为 17，抬土人数为 2(3017) 26(2)不可以，因为若 20 根扁担用于挑土，则需 20 人43 人；若20 根扁担用于抬土，则需 40 人43 人，因此，人员有剩余所以参加劳动的人数不变，扁担数为 20 根不可以点拨此题关键是如何利用人数与扁担数的关系列方程由生活常识可知，挑土 1 人用 l 根扁担，抬土 2 人用 l 根扁担例 10 下面是甲商场电脑产品的进货单，其中进价一栏被墨水污染，读了进货单后，请你求出这台电脑的进价甲商场商品进货单电脑供货单位乙单位品名 P4200商品代码 DN63DT商品所属电脑专柜标价 80 元折扣八折利润 210 元分析：本题应先读懂图表所提供的信
13、息，明确题目的条和所求，此题等量关系为：售价进价=利润解：设这台电脑的进价为 x 元根据题意，得 8008x210解得 x4 470答：这台电脑的进价为 4 470 元注意商品打八折后的售价等于标价08思想方法归纳 方程体现了数学建模思想，主要培养同学们的运算能力、观察能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力，体会数学的价值主要解题思想方法如下： 1转化思想本部分内容在转化思想上的主要体现是利用方程的概念求代数式的值、巧解方程等例 1 已知方程 3x29x0 的一个解是 1，则的值为 分析：根据方程解的定义，把方程的解 x1 代入方程成立，然后解关于的方程即可解：把 x=1 代入原方程，得 3
14、12910，解得=6 答案：6方法解题依据是方程的定义，解题方法是把方程的解代入原方程，转化为关于待定系数的方程例 2 如果 4x23xx220 x 20 是关于 x 的一元一次方程，那么= ，方程的解是 解析：要判断一个方程是不是一元一次方程，首先应先化为最简形式，原方程化为一般形式得(4 ) x223 x20 0由一元一次方程的定义知 4 x0，解得4把4 代入方程得 23 x80，解得 x 答案： 4；x 技巧判断一个方程是不是一元一次方程，应先化为最简形式，再根据一元一次方程的定义判断2方程思想本部分内容方程思想的体现主要是列方程解决实际问题解决问题的关键是分析题意，找出题目中的相等关
15、系，列出一元一次方程，解出方程，得出答案例 3 某中学甲、乙两班学生在开学时共有 90 人，如果从甲班转入乙班 4 人，结果甲班的学生人数是乙班的 80，问开学时两班各有学生多少人?解：设开学时甲班有 x 人，则乙班有(90x) 人，根据题意，得x4=(90x 4)80，x203604x16，即x44，90x46答：开学时甲班有 44 人，乙班有 46 人点拨调配问题是：一方增多，另一方要减少，注意变化前后的关系是列方程的关键例 4 如图 31 所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为 80 2、100 2，且甲容器装满水，乙容器是空的若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了 8 ，则甲的容积为( )A1 280 3 B2 60 33 200 3 D4 000 3解析：设甲容器的高度为 x ，则乙容器中水的高度为(x8)根据两容器中水的体积不变可得 80x=100
