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1、1题 目 归纳法在数学中的应用与地位学 生 学 号 指导老师 年 级 学 院 系 别 xx 年 xx 月2目录目录 .2摘要 .3引 言 .4一、数学归纳法的历史由来 .4二、归纳法的特点 .4二 基本步骤 .5三 数学归纳法的常用方法举例 .63.1求同法 .63.2 求异法 .63.3 求同求异并用法 .73.4 共变法 .73.5 剩余法 .7四、在高等数学中的归纳法运用举例 .8五、数学归纳法解决应用问题 .95.1代数恒等式方面的问题 .95.2几何方面的应用 .95.3 排列和组合上的应用 .105.4对于不等式的证明上的应用 .11六、总结 .11参考文献 .12致 谢 .133
2、摘要数学归纳法是中学数学中一种常用的证题方法，是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式.它的应用极其广泛本文讨论了数学归纳法的步骤，它集归纳，猜想，证明于一体，体现了数学归纳法的证题思路本文归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式，几何，排列组合等方面的一些应用问题的方法，并对应用中常见的误区加以剖析，以及一些证法技巧介绍，有利于提高对数学归纳法的应用能力数学归纳法的具体应用时,有许多更为灵活的形式,这一点是宜于注意的.不完全归纳法仅仅依据同一事实的几次重复作出结论,只是停留在对事物的表面现象的观察上,没有深入地分析产生现象的原因,只有对现象产
3、生的原因有了了解,才会提高结论的可信程度.人们在长期的科学实践过程中,总结出了确定因果关系的几种逻辑方法:求同法、求异法、求同求异并用法、共变法、剩余法.归纳法在数学中运用十分广泛.关键词：数学归纳法 数学归纳法的特点 步骤 应用.AbstractMathematical induction is a common evidence method in secondary school mathematics, it is have very broad application. In this paper, author reaserch into the step of the Mathe
4、matical induction , it includes summariz ,evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz themethod of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common error
5、s on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical inductions applicationSo-called mathematics inductive method is from the special concrete understanding propulsion to general of abstract of a kind of mode of thinking
6、 ofwith understanding, it is science discovers of a kind of long use of valid mode of thinking.The inductive method is in mathematics make use of very extensively.Key words：Mathematical induction; steps；Application.4引 言在中学数学学习的过程中，有一种很常见且基本的数学方法数学归纳法对于数学归纳法，有人问：为什么说数学归纳法是严格的证明方法？数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明
7、过程为什么要有这样的规定格式？数学归纳法的应用前景如何？下面将逐一进行解答一、数学归纳法的历史由来曾经有一个叫皮亚诺的意大利人把我们小时侯数数的过程归纳整理出来，称作正整数公理这个公理有五条：“简单归纳一下，前四条是说：1 是正整数，且它不是任何正整数的后面的一个数（称作后继） ，即 1是第一个正整数，每个正整数都有唯一的后继，而且是正整数” ；关键是第五条：“一个正整数集合，如果包含 1，并且假设包含 ，也一定包含它的后继，那这个集合包含所有x的正整数 ”这一条就是数学归纳法的原理 用符号表示，即：1如果 ,且满足 （2）若 则 ,那么 SN()SkS+SN=根据这一原理，就有了数学归纳法，
8、设 是与正整数有关的命题如果()Pn当 时正确，即 正确(1)n=(1)若假设 正确前提下，可以证明命题 也正确2()Pk(1)k那么命题对任意正整数都是正确的数学归纳法的正确性可以用“正整数最小数原理”加以证明，正整数最小数原理是说，任何非空正整数集合一定含有最小数二、归纳法的特点(1)归纳法是根据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论,超越了前提所包含的内容.(2)归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象,因而结论具有猜测的性质.(3)归纳法的前提是单个事实、特殊情况,所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具
9、体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的.观察、实验、对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.5例如多面体的面数 F、顶点数 V和棱数 E之间有什么关系呢?应该从何处着手来研究这个问题呢?最容易下手的莫过于拿几个多面体来看,具体地数一数它们的面、顶点和棱.于是产生了下面的表:多 面 体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)立 方 体 6 8 12三 棱 柱 5 6 9五 棱 柱 7 10 15方 锥 5 5 8三 棱 锥 4 4 6五 棱 锥 6 6 10分析这些特例的数据的基础上就可以归纳出一个结论:.2FVE+=尽管这时还不能认为这个结论是正确
10、的,但是它毕竟为我们提供可一个研究的方向,即根据这个结论再去证实它符合一般多面体的情形.又如,已知函数 ,求 .显然无法下手直接计算得2()1xf+()ffxL出结果,最自然的想法乃是先求 及 等特殊的简单的形式.易得:()ff;()fx21=+;()f23x于是,可以自然地归纳出结论:.()ffxL21nx=+有了这个猜测性的结论之后,再去严格证明它.二 基本步骤数学归纳法是数学中一种重要而独特的证明方法，对与自然数 有关的命n题的证明是行之有效的首先它的两个步骤缺一不可 ，其次它的应用非常广泛，6可以用它解决好多方面的数学问题 数学归纳法的步骤：2当 时，这个命题是正确的(1)n=假设当
11、时，这个命题是正确的，那么当 时，这个命题也是2k 1nk=+正确的数学归纳法的两个步骤缺一不可一方面不要认为，一个命题在 的时候正n确，在 时正确，在 时也正确，则这个命题就正确了老实说，不要说n=3n=当 的时候正确不算数，就是 为 1000的时候正确，或者 1万的时候正确，3对任何自然数是否正确，还得证明了再说三 数学归纳法的常用方法举例3.1求同法某种被研究的对象,在几种不同的情形下都出现,而在各种情形中只有一个条件是共同的,于是,就可以认为这个条件是被研究现象产生的原因.它的公式可以表示为:情形 各种条件 被研究的对象I ,ABCaII DEIII ,FG可以认为 A是 a的原因. 两个边长相等的正方形,其中一个正方形某顶点重合于另一个正方形的中心 O,并绕 O点旋转,无论旋转到任何位置,两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.两个边长相等的正六边形也具有同样的性质.由此使我们猜想到,这个现象产生的原因只在于两个多边形边长相等而且是正多边形,它与边数的多少无关.伽利略观察到,摆长相等振幅
