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1、2015 届高三数学上第二次阶段考试试卷(理)江西省吉安一中 201 届上学期高三年级第二次阶段考试数学试卷（理科）第卷一、选择题：共 12 小题，每小题分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1 已知集合 ， ，则集合 等于（ ）A B D 2 复数 满足 ，则 =（ ）A B D 3 某中学进行模拟考试有 80 个考室，每个考室 30 个考生，每个考生座位号按 130 号随机编排，每个考场抽取座位号为 1 号考生试卷评分，这种抽样方法是（ ）A 简单随机抽样 B 系统抽样 分层抽样 D 分组抽样 4 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线，一条渐近线方程是
2、 ，则双曲线的离心率是（ ）A B D 2甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法为（ ）A 72 B 36 2 D 246 设 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）A B D 7 运行如图所示框图的相应程序，若输入 a，b 的值分别为 和 ，则输出的值是（ ）A 0 B 1 2 D -18 如下图是张大爷晨练时所走的离家距离（）与行走时间（x）之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（ ）9 已知不等式组 ，表示的平面区域为，若直线 与平面区域有公共点，则的取值范围是（ ）A B D 10 一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示，则该几
3、何体的体积为（ ）3A B D 11 在椭圆 上有两个动点 P，Q，E（3,0）为定点，EPEQ，则 最小值为（ ）A 6 B 9 D 12 已知函数 ， 。定义： ， ， ， 满足 的点 称为 的 n 阶不动点。则 的 n 阶不动点的个数是（ ）A n 个 B 2n2 个 2（2n-1）个 D 2n 个第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共四小题，每小题分。13 已知 ， ， 的夹角为 60，则 _。14 设函数 图象的一条对称轴是直线 ，则 _。1 数列 的前 n
4、 项和记为 ， ，则 的通项公式为_。16 AB 中，角 A、B、所对的边分别为 a、b、 ，下列命题正确的是_(写出正确命题的编号)。总存在某内角 ，使 ；若 ，则 BA；存在某钝角AB ，有 ；若 ，则AB 的最小角小于 ；三、解答题（12 分分，+10 分）17 已知数列 的前 n 项和为 ， 。（1）求 ；（2）求证：数列 是等比数列；（3）求 。18 已知函数 。（1）求 的单调递增区间；（2）在AB 中，三内角 A，B，的对边分别为 a，b， ，已知 ，b，a，成等差数列，且 ，求 a 的值。19 如图，已知 AB平面 AD，DEAB，AD 是正三角形，AD=DE=2AB，且 F
5、是 D 的中点。（1）求证：AF 平面 BE；（2）求证：平面 BE平面 DE；（3）求平面 BE 与平面 AD 所成锐二面角的大小。20 已知抛物线 的焦点为 F，点 P 是抛物线上的一点，且其纵坐标为 4， 。（1）求抛物线的方程；（2）设点 ， （ ）是抛物线上的两点，APB 的角平分线与 x轴垂直，求PAB 的面积最大时直线 AB 的方程。21 已知函数 在点 处的切线与 x 轴平行。（1）求实数 a 的值及 的极值；（2）是否存在区间 ，使函数 在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数 t 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）如果对任意的 ，有 ，求实数的取值范围。请考生从第（2
6、2） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答。注意：知能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22 已知 PQ 与圆相切于点 A，直线 PB 交圆于 B、两点，D 是圆上一点，且 ABD，D 的延长线交 PQ 于点 Q。（1）求证： （2）若 AQ=2AP， ,BP=2，求 QD。23 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线： ，过点 P（-2，-4）的直线 的参数方程为 （t为参数） 与分别交于，N。（1）写出的平面直角坐标系方程和 的普通方程；（2）若 ， ， 成等比数列，求 a 的值。24 设函数 。（）若 时，解不等式 ；（II）若
7、函数 有最小值，求 a 的取值范围。 【参考答案】1 B2 3 B4 DB6 7 8 D9 A解析：试题分析：本题为线性规划含有带参数直线问题依据线性约束条作出可行域，注意到 所以过定点（3,0） 。作出可行域所以斜率应该在 x 轴与虚线之间， 所以 故答案为 A。考点：线性规划10 A11 A解析：试题分析：设 ，则有 ，因为 EPEQ，所以 ，即 ，因为 ，所以当 时， 取得最小值 6，故选择 A。考点：向量、解析几何、二次函数在给定区间上的最值。12 D解析：试题分析：函数 ，当 时， ，当 时， ， 的 1 阶不动点的个数为 2，当 ， ，当 ，当 ，当 ， 的 2 阶不动点的个数为
8、，以此类推， 的 n 阶不动点的个数是 个。考点：函数与方程的综合运用。13 14 1 16 解析：试题分析：对，因为 ，所以 ，而在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中必然会存在一个角 ，故正确；对，构造函数 ，求导得， ，当 时， ，即 ，则 ，所以 ，即 在 上单减，由 得 ，即 ，所以 BA，故不正确；对，因为 ，则在钝角AB 中，不妨设 A 为钝角，有 ，故 不正确；对，由 ，即 ，而 不共线，则 ，解得 ，则 a 是最小的边，故 A 是最小的角，根据余弦定理，知 ，故正确；考点：1 三角函数与解三角形；2 利用导数求函数的最值；3 不等式的应用。17 （1） 。 （2） （3）见解
9、析解析：（1）解：由 ，得 ， 。又 ，即 ，得 。（2）证明：当 时， ，得 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列。（3）解：由（2）可得 。18 （1） ；（2） 。解析：（1） 2 分3 分由 得， 分故 的单调递增区间是 6 分（2） 于是 ，故 8 分由 成等差数列得： ，由 得 10 分由余弦定理得， ，于是 12 分考点：三角函数变换，三角函数性质，三角形，平面向量，等差数列19（1）见解析；（2）见解析；（3）4。解析：（1）解：取 E 中点 P，连结 FP、BP，F 为 D 的中点，FPDE，且 。又 ABDE，且 ，ABFP，且 AB=FP，ABPF 为平行四边形，AF
10、BP又 平面 BE，BP 平面 BE，AF平面 BE（2）AD 为正三角形， AF D。AB 平面 AD，DEAB ，DE 平面 AD，又 AF 平面 AD，DE AF。又 AF D， ,AF平面 DE又 BPAF ，BP平面 DE。又 平面 BE，平面 BE平面 DE（3）法一、由（2） ，以 F 为坐标原点，FA，FD，FP 所在的直线分别为 x， ，z 轴（如图） ，建立空间直角坐标系 Fxz。设 A=2，则（0，-1,0） ，B（ ，0,1） ，E（0,1,2） 。设 为平面 BE 的法向量， ， ，令 n=1，则 显然， 为平面 AD 的法向量。设面 BE 与面 AD 所成锐二面角为
11、 ，则 。 。即平面 BE 与平面 AD 所成锐二面角为 4法二、延长 EB、DA，设 EB、DA 交于一点，连结。则面 EB 面 DA=。由 AB 是 ED 的中位线，则 D=2AD。在D 中D=2AD=2A ，D=60 。D，又DE。面 ED，而 E 面 ED，E ，ED 为所求二面角的平面角在 RtED 中，ED=D，ED=4即平面 BE 与平面 AD 所成锐二面角为 4。考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定。20（1）抛物线的方程为 。 （2） 。解析：（1）设 ，因为 ，由抛物线的定义得 ，又 ，3 分因此 ，解得 ，从而抛物线的方程为 。
12、6 分（2）由（1）知点 P 的坐标为 P（2,4） ，因为 APB 的角平分线与 x 轴垂直，所以可知 PA，PB 的倾斜角互补，即 PA，PB 的斜率互为相反数设直线 PA 的斜率为，则 ，由题意 ， 7 分把 代入抛物线方程得 ，该方程的解为 4、 ，由韦达定理得 ，即 ，同理 。所以 ， 8 分设 ，把 代入抛物线方程得 ，由题意 ，且 ，从而 又 ，所以 ，点 P 到 AB 的距离 ，因此 ，设 , 10 分则 ，由 知 ，所以 在 上为增函数，因此 ，即PAB 面积的最大值为 。PAB 的面积取最大值时 b=0，所以直线 AB 的方程为 。 12 分考点：1 抛物线的定义及其几何性
13、质；2 直线与抛物线的位置关系；3 直线方程；4 应用导数研究函数的最值。21 （1） 的极大值 1，无极小值（2） ， （3） 解析：（1） 在点（1， ）处的切线与 x 轴平行 a=1 ，当 时， ，当 时 ， 在（0,1）上单调递增，在 单调递减，故 在 x=1 处取得极大值 1，无极小值（2） 时， ，当 时， ，由（1）得 在（0,1）上单调递增，由零点存在原理，在区间（0,1）存在唯一零点，函数 的图象如图所示函数 在区间 上存在极值和零点 存在符号条的区间，实数 t 的取值范围为 ，（3）由（1）的结论知， 在 上单调递减，不妨设 ，则，函数 在 上单调递减,又 ， ，在 上恒成
14、立， 在 上恒成立在 上 ， 考点：导数、函数、极值、恒成立问题22 （1）证明过程详见解析；（2） 。解析：（1）因为 ABD，所以PAB=AQ，又 PQ 与圆相切于点 A，所以PAB= AB，因为 AQ 为切线，所以QA=BA，所以AB QA，所以 ,所以 分（2）因为 ABD，AQ=2AP，所以 ，由 ， 得 ， AP 为圆 0 的切线 又因为 AQ 为圆的切线 10 分考点：同位角、弦切角、相似三角形、切线的性质、切割线定理。23（1） ；（2）1。解析：（I）曲线的直角坐标方程为 ；直线 1 的普通方程为 。 4 分（II）将直线 1 的参数方程与的直角坐标方程联立，得。设点，N 分别对应参数 t1，t2，恰为上述方程的根。则 ， ， 。由题设得 ，即 。由（*）得 ， ，则有，得 ，或 。因为 ，所以 。考点：参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，直线与抛物线位置关系24（I） 。 （II） 。试题解析：（I）当 时， 。当 时， 可化为 ，解得 ；当 时， 可化为 ，解得。综上可得，原不等式的解集为 。（II） 函数 有最小值的充要条为 即 。
