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1、2017 届高考数学考前回扣教材-函数与导数回扣 2函数与导数 1函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；若已知 f(x)的定义域为a，b，则 fg(x)的定义域为不等式ag(x)b 的解集；反之，已知 fg(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为函数g(x)(xa，b)的值域；在实际问题中应使实际问题有意义(2)常见函数的值域一次函数xb(0)的值域为 R；二次函数ax2 bx(a0)：a0 时，值域为4ab24a， ，a0 时，值域为 ，4ab24a ；反比例函数x(0)的值域为R|02函数的奇偶性、周
2、期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有 f(x)f(x)成立，则 f(x)为奇函数(都有 f(x)f(x)成立，则 f(x)为偶函数)(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数 f(x)，如果对于定义域内的任意一个 x 的值：若 f(xT)f(x)(T0) ，则 f(x)是周期函数，T 是它的一个周期3关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性若函数 f(x)满足 f(xa)f(x a)，则 f(x)为周期函数，2a 是它的一个周期设 f(x)是 R 上的偶函数，且图象关于直线 xa(a0)对称，则f(x)是周期函数，
3、2a 是它的一个周期设 f(x)是 R 上的奇函数，且图象关于直线 xa(a0)对称，则f(x)是周期函数，4a 是它的一个周期(2)函数图象的对称性若函数f(x)满足 f(ax)f(ax)，即 f(x)f(2ax) ，则 f(x)的图象关于直线 xa 对称若函数f(x)满足 f(ax)f(ax)，即 f(x)f(2ax)，则 f(x)的图象关于点(a,0) 对称若函数f(x)满足 f(ax)f(b x)，则函数 f(x)的图象关于直线 xab2 对称4函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质单调性的定义的等价形式：设 x1，x2a，b，那么(x1 x2)f(x1) f(x2)x1x
4、20f(x)在a， b上是增函数；(x1 x2)f(x1)f(x2)x1x20f(x)在a，b上是减函数若函数 f(x)和 g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)g(x)是减函数；若函数 f(x)和 g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)g(x) 是增函数；根据同增异减判断复合函数fg(x)的单调性函数图象的基本变换(1)平移变换：f(x)h0，左移f(xh) ，f(x)0，下移f(x)(2)伸缩变换：f(x)01，缩f(x) ，f(x)01，伸 Af(x)(3)对称变换：f(x)x 轴f(x) ，f(x)轴f(x)，f(x)原点f(x)6准确记忆指数函数与对数函数的基本性质(
5、1)定点：ax (a0，且 a1)恒过(0,1)点；lgax(a1 时，ax 在 R 上单调递增；lgax 在(0，)上单调递增；当 01 时，ax 在 R 上单调递减；lgax 在(0，)上单调递减7函数与方程(1)零点定义：x0 为函数 f(x)的零点(x0,0)为 f(x)的图象与 x 轴的交点(2)确定函数零点的三种常用方法解方程判定法：即解方程 f(x)0零点定理法：根据连续函数f(x)满足 f(a)f(b)0，判断函数在区间(a，b)内存在零点数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解8导数的几何意义(1)f(x0)的几何意义：曲线f(x) 在点(x0，f(x0)处
6、的切线的斜率，该切线的方程为f(x0)f(x0)(x x0) (2)切点的两大特征：在曲线f(x)上；在切线上9利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤：求函数 f(x)的定义域；求导函数 f(x)；由 f(x)0 的解集确定函数 f(x)的单调增区间，由 f(x)0 的解集确定函数 f(x)的单调减区间(2)由函数的单调性求参数的取值范围：若可导函数 f(x)在区间上单调递增，则 f(x)0(x)恒成立；若可导函数 f(x)在区间上单调递减，则 f(x)0 (x)恒成立；若可导函数在某区间上存在单调递增(减 )区间， f(x)0)在该区间上存在解集；若已知f(x)在区间 I
7、 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f(x)的单调区间，则 I 是其单调区间的子集10利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤：确定函数的定义域；解方程f(x)0； 判断 f(x)在方程 f(x)0 的根 x0 两侧的符号变化：若左正右负，则 x0 为极大值点；若左负右正，则 x0 为极小值点；若不变号，则 x0 不是极值点(2)求函数 f(x)在区间a，b上的最值的一般步骤：求函数f(x)在(a，b)内的极值；比较函数f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优
8、先原则2解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围3求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“” 和“或”连接，可用“及” 连接或用 “， ”隔开单调区间必须是 “区间”，而不能用集合或不等式代替4判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响准确理解基本初等函数的定义和性质如函数ax(a0，a1)的单调性忽视字母 a 的取值讨论，忽视 ax0；对数函数lgax(a0，a1)忽视真数与底数的限制条6易混淆函数的零点和函数图象与 x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化7已知可导函数 f(x)在
9、(a，b)上单调递增( 减)，则 f(x)0(0)对x(a，b)恒成立，不能漏掉“” 号，且需验证“ ”不能恒成立；而已知可导函数 f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则 f(x)0( 0)的解集为 (a，b)8f(x) 0 的解不一定是函数 f(x)的极值点一定要检验在 xx0的两侧 f(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点1若函数 f(x)2x2，x0 ，2x4，x0 ，则ff(1)等于()A10 B10 2 D2答案解析由 ff(1)f(214)f(2)2(2) 22，故选2若函数 f(x)x212ln x1 在其定义域内的一个子区间(1， 1)内不是
10、单调函数，则实数的取值范围是()A1，) B1，32)1,2) D32，2)答案B解析因为 f(x)的定义域为(0，)，2x12x，由 f(x) 0，得 x 12 利用图象可得，132，故选 B3若函数 f(x)7 单调递增，则实数 a 的取值范围是 ()A(94 ，3) B94 ， 3)(1,3) D(2,3)答案D解析因为函数 f(x)7 单调递增，所以 19或 a2，所以实数 a 的取值范围是(2,3)，故选 D4函数x2x|x| 的图象大致形状是() 答案A解析2x，x0，2x 在(0，)上单调递增，且2x0，排除 B，D；又2x 在(，0)上单调递减，排除(2016标全国甲 )下列函
11、数中，其定义域和值域分别与函数10lg x 的定义域和值域相同的是()Ax Blg x 2x D1x答案D解析函数10lg x 的定义域为x|x0 ，所以与其定义域和值域分别相同的函数为1x，故选 D6已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且 f(1)2，则 f(2 017)的值是()A2 B0 1 D2答案D解析由题意得 f(x4) f(x2)f(x)，所以函数是以 T4 的周期函数，所以 f(2 017)f(1) f(1) 2，故选 D7已知函数 f(x)1xlg3x ，若 x0 是函数f(x)的零点，且0x1x0，则 f(x1)的值()A恒为正值 B等于 0恒为负
12、值 D不大于 0答案A解析由题意知 f(x)为(0，)上的减函数，又 f(x0)0，x1x0，f(x1)f(x0)0，故选 A8设 a lg32，blg2，lg23，则( )Aaab答案D解析易知 lg231，lg32，lg2(0,1)在同一平面直角坐标系中画出函数lg3x 与lgx 的图象，观察可知 lg32b 比较 a，b 的其他解法：lg32lg2，所以 1lg23lg2，即 ab9若函数 f(x)定义域为2,2，则函数f(2x)ln(x1)的定义域为_答案(1,1解析由题意可得22x2，x1x1，即函数f(2x)ln(x1)的定义域为(1,1 10(2016天津 )已知函数 f(x)(
13、2x1)ex，f(x) 为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为_ 答案3解析因为 f(x)(2x1)ex ，所以 f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex ，所以 f(0)3e0311设奇函数f(x)(xR)，满足对任意 tR 都有 f(t)f(1 t)，且 x0，12 时 f(x)x2，则 f(3)f( 32) 的值等于_答案14解析由于f(x)为奇函数，根据对任意 tR 都有 f(t)f(1t)，可得 f( t)f(1t)，所以函数f(x)的一个周期为 2，故 f(3)f(1)f(0 1)f(0)0，f( 32)f(12)14，f(3)f(32)1412函数 f(x)x3ax2bxa2
14、 在 x1 处有极小值 10，则 ab的值为_答案7解析f(x) 3x2 2axb，由已知可得f1a ba210，解得 a 4，b11 或 a3，b3，经验证，a4，b 11 符合题意，故 ab 713已知函数 f(x)x1ex(e 为自然对数的底数) (1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 (x)xf(x) tf(x) 1ex，存在实数 x1，x20,1，使得 2(x1)(x2)成立，求实数 t 的取值范围解(1) 函数的定义域为 R，f(x)xex，当 x0，f(x)在( ，0)上单调递增，在(0，)上单调递减(2)存在 x1，x20,1，使得 2(x1)(x2)成立，则 2(x)in(x)ax(x)xf(x)tf(x)exx2x 1ex ，(x)x2x1ex当 t1 时，(x)0 ，(x) 在0,1上单调递减，2(1)1 ；当 t0 时，(x)0，(
