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1、2012 届高考数学第一轮基础知识点复习：两个基本计数原理第十编 计数原理101 两个基本计数原理1 有不同颜色的四上衣与不同颜色的三长裤，如果一条长裤与一上衣配成一套，则不同的配法有 种答案 122 从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有 种答案 3 一个乒乓球队里有男队员人，女队员 4 人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有 种不同的选法答案 204 将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有 种答案 36有一项活动需在 3 名老师，8 名男同学和名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？
2、（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？解 （1） “完成这事”只需从老师、学生中选 1 人即可，共有3+8+=16 种(2)“ 完成这事 ”需选 2 人，老师、学生各 1 人，分两步进行：选老师有 3 种方法，选学生有 8+=13 种方法，共有313=39 种方法(3)“ 完成这事 ”需选 3 人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有 3 种方法，选男同学有 8 种方法，选女同学有种方法，共有 38=120 种方法例 1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解 方法一 按十位数上
3、的数字分别是 1，2，3，4， ，6，7，8 的情况分成 8 类，在每一类中满足题目条的两位数分别有 8 个，7 个，6个，个，4 个，3 个，2 个，1 个由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：8+7+6+4+3+2+1=36（个）方法二 按个位数字是 2，3，4， ，6，7，8，9 分成 8 类，在每一类中满足条的两位数分别有 1 个、2 个、3 个、4 个、个、6 个、7个、8 个，所以按分类计数原理共有：1+2+3+4+6+7+8=36（个）例 2 已知集合=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)表示平面上的点(a,b),问:(1)P 可表示平面上多少个不同的点?(2)P
4、可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P 可表示多少个不在直线=x 上的点?解 （1）确定平面上的点 P(a,b)可分两步完成：第一步确定 a 的值，共有 6 种确定方法；第二步确定 b 的值，也有 6 种确定方法根据分步计数原理，得到平面上的点数是 66=36（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定 a，由于 a0,所以有 3 种确定方法；第二步确定 b,由于 b0，所以有 2 种确定方法由分步计数原理，得到第二象限点的个数是 32=6（3）点 P（a,b)在直线=x 上的充要条是 a=b 因此 a 和 b 必须在集合中取同一元素，共有 6 种取法，即在直线=x 上的点有 6 个由（
5、1）得不在直线=x 上的点共有 36-6=30 个例 3 （16 分）现有高一四个班学生 34 人,其中一、二、三、四班各 7 人、8 人、9 人、10 人，他们自愿组成数学外小组（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需自不同的班级，有多少种不同的选法？解 （1）分四类：第一类，从一班学生中选 1 人，有 7 种选法；第二类，从二班学生中选 1 人，有 8 种选法；第三类，从三班学生中选 1 人，有 9 种选法；第四类，从四班学生中选 1 人，有 10 种选法所以，共有不同的选法 N=7+8+9+10=34（种）
6、4 分（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=78910= 040（种）8 分（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选 1 人，有78 种不同的选法；从一、三班学生中各选 1 人，有 79 种不同的选法；从一、四班学生中各选 1 人，有 710 种不同的选法；从二、三班学生中各选 1 人，有 89 种不同的选法；从二、四班学生中各选 1 人，有 810 种不同的选法；从三、四班学生中各选 1 人，有910 种不同的选法，14 分所以共有不同的选法N=78+79+710+89+810+910=431（种）16 分 1 从 1 到 2
7、0这 20 个整数中,任取两个相加,使其和大于 20,共有几种取法?解 当一个加数是 1 时,另一个加数只能是 20,1 种取法当一个加数是 2 时,另一个加数可以是 19,20,2 种取法当一个加数是 3 时,另一个加数可以是 18,19,20,3 种取法当一个加数是 10 时,另一个加数可以是 11,12,20,10 种取法当一个加数是 11 时,另一个加数可以是 12,13,20,9 种取法当一个加数是 19 时,另一个加数是 20,1 种取法由分类计数原理可得共有 1+2+3+10+9+8+1=100 种取法2 某体育彩票规定：从 01 到 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，
8、每注 2 元某人想先选定吉利号 18，然后从 01 至 17 中选 3 个连续的号，从 19 至 29 中选 2 个连续的号，从 30 至 36 中选 1 个号组成一注若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？解 先分三步选号，再计算总钱数按号段选号，分成三步第一步从 01 至 17 中选 3 个连续号，有 1 种选法；第二步从 19 至 29 中选 2 个连续号，有 10 种选法；第三步从 30 至 36 中选 1 个号，有 7 种选法由分步计数原理可知，满足要求的号共有1107=1 00(注),故至少要花 1 002=2 100(元)3 某校高中部，高一有 6 个班，高二有 7 个
9、班，高三有 8 个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动（1）任选 1 个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选 2 个班的学生参加社会实践，要求这 2 个班不同年级，有多少种不同的选法？解 （1）分三类：第一类从高一年级选 1 个班，有 6 种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有 7 种不同方法；第三类从高三年级选 1 个班，有 8 种不同方法由分类计数原理，共有 6+7+8=21 种不同的选法（2）每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有 6 种不同方法；第二步从高二年级选 1 个班，有 7 种不同
10、方法；第三步从高三年级选 1 个班，有 8 种不同方法由分步计数原理，共有678=336 种不同的选法（3）分三类，每类又分两步第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有 67 种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选 1 个班，有 68 种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有78 种不同的方法，故共有 67+68+78=146 种不同选法一、填空题1 位同学报名参加两个外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 种答案 322 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共 10 000 个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数
11、字”4”或“7” 的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有 个答案 9043 从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有 个答案 84 如图所示，用五种不同的颜色分别给 A、B、 、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 种答案 180一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有 种答案 486（2008全国 ）将 1，2，3 填入 33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有 种答案 127 在 2008 年奥运选手选拔赛上
12、，8 名男运动员参加 100 米决赛其中甲、乙、丙三人必须在 1、2、3、4、 、6、7、8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有 种答案 2 8808 若一个,n 均为非负整数的有序数对（,n)，在做+n 的加法时各位均不会进位，则称（,n)为“简单的” 有序数对，+n 称为有序数对（,n)的值，那么值为 1 942 的“简单的” 有序数对的个数是 答案 300二、解答题9（1）4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解 （1）要完成的是“4 名同学每人从三个项目中选一
13、项报名” 这事，因为每人必报一项，四个都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为 3 种，所以共有：3333=81 种报名方法（2）完成的是“三个项目冠军的获取 ”这事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主 ”为线索进行分步而每项冠军是四人中的某一人，有 4 种可能的情况，于是共有：444=43=64 种可能的情况10 用种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解 完成该事可分步进行涂区域 1，有种颜色可选涂区域 2，有 4 种颜
14、色可选涂区域 3，可先分类：若区域 3 的颜色与 2 相同，则区域 4 有 4种颜色可选若区域 3 的颜色与 2 不同，则区域 3 有 3 种颜色可选，此时区域 4 有 3 种颜色可选所以共有4（14+33）=260 种涂色方法11 在平面直角坐标系内，点 P（a，b）的坐标满足 ab,且 a,b 都是集合1,2,3,4,6的元素,又点 P 到原点的距离|P| 求这样的点 P 的个数解 按点 P 的坐标 a 将其分为 6 类:(1)若 a=1,则 b=或 6,有 2 个点;(2)若 a=2,则 b=或 6,有 2 个点;(3)若 a=3,则 b=或 6 或 4,有 3 个点;(4)若 a=4,
15、则 b=3 或或 6,有 3 个点;() 若 a=,则 b=1,2,3,4,6,有个点;(6)若 a=6,则 b=1,2,3,4,有个点;共有 2+2+3+3+=20（个）点12 将 3 种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？解 设由左到右五块田中要种 a,b,三种作物，不妨先设第一块种 a,则第二块可种 b,有两种选法同理，如果第二块种 b,则第三块可种 a和,也有两种选法，由分步计数原理共有 12222=16 其中要去掉ababa 和 aaa 两种方法故 a 种作物种在第一块田中时的种法数有 16-2=14（种）同理
16、b 种或种作物种在第一块田中时的种法数也都为 14 种所以符合要求的种植方法共有3(2222-2)=3(16-2)=42(种)102 排列与组合1 从 1，2，3，4， ，6 六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 个答案 42（2008福建理）某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案共有 种答案 143 停车场每排恰有 10 个停车位当有 7 辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有 3 个空车位连在一起的排法有 种（用式子表示）答案 A 4 在 100 产品中有 6 次品，现从中任取 3 产品，至少有 1 次品的不同取法种数是 （用式子表示）答案 - （20
