《2012届高考数学难点突破复习-概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012届高考数学难点突破复习-概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012 届高考数学难点突破复习:概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结函 数一映射 : A B 的概念。在理解映射概念时要注意：中元素必须都有象且唯一；B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：（1）设 是集合 到 的映射，下列说法正确的是A 、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象、 中每一个元素在 中的原象是唯一的 D、 是 中所在元素的象的集合（答：A） ；（2）点 在映射 的作用下的象是 ，则在 作用下点 的原象为点_（答：（2，1） ） ；（3）若 ， ， ，则 到 的映射有 个， 到 的映射有 个， 到 的函数有
2、个（答：81,64,81） ；（4）设集合 ，映射 满足条“ 对任意的 ， 是奇数”，这样的映射 有_个（答：12） ；（）设 是集合 A 到集合 B 的映射，若 B=1,2，则 一定是_（答： 或1 ）二函数 : A B 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集！据此可知函数图像与 轴的垂线至多有一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如：（1）已知函数 ， ，那么集合 中所含元素的个数有 个（答： 0 或 1） ；（2）若函数 的定义域、值域都是闭区间 ，则 （答：2）三同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯
3、一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数 ”，那么解析式为 ，值域为4，1的“天一函数”共有_ 个（答：9）四求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数 中 且 ，三角形中 , 最大角 ，最小角 等。如（1）函数 的定义域是_(答： )；（2）若函数 的定义域为 R，则 _(答： )；（3）函数 的定义域是 ， ，则函数 的定义域是_(答： )；（4）设函数 ，若 的定义域是 R，求实数 的取值范围；若 的
4、值域是 R，求实数 的取值范围（答： ； ）2根据实际问题的要求确定自变量的范围。3复合函数的定义域：若已知 的定义域为 ,其复合函数 的定义域由不等式 解出即可；若已知 的定义域为 ,求 的定义域，相当于当 时，求 的值域（即 的定义域） 。如（1）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为_（答： ） ；（2）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_（答：1,） 五求函数值域（最值）的方法：1配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 上的最值；二是求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看” ：一看开口方向；二看对称轴与所给
5、区间的相对位置关系） ，如（1）求函数 的值域（答：4,8） ；（2）当 时，函数 在 时取得最大值，则 的取值范围是_（答： ） ；（3）已知 的图象过点（2,1） ，则 的值域为_（答：2, ）2换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1） 的值域为_（答： ） ；（2） 的值域为_（答： ）（3） 的值域为_（答： ） ；（4） 的值域为_（答： ） ；3函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数 ， ， 的值域（答： 、 （0,1） 、
6、） ；4单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求 ， ， 的值域（答： 、 、 ） ；数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点 在圆 上，求 及 的取值范围（答： 、 ） ；（2）求函数 的值域（答： ） ；（3）求函数 及 的值域（答： 、 ）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在 轴的同侧。6判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： 型，
7、可直接用不等式性质，如求 的值域（答： ） 型，先化简，再用均值不等式，如（1）求 的值域（答： ） ；（2）求函数 的值域（答： ） 型，通常用判别式法；如已知函数 的定义域为 R，值域为0，2，求常数 的值（答： ） 型，可用判别式法或均值不等式法，如求 的值域（答： ）7不等式法利用基本不等式 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是_（答： ） 。8导数法一般适用于高次多项式函数，如求函数 ， 的最小值。（答：48）提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要
8、求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？六分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 时，一定首先要判断 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数 ，则使得 的自变量 的取值范围是_（答： ） ；（2）已知 ，则不等式 的解集_（答： ）七求函数解析式的常用方法：1待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式： ；顶点式： ；零点式： ，要会根据已知条的特点，灵活地选用二次函数的表达形式） 。如
9、已知 为二次函数，且 ，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为2 ,求 的解析式 。（答： ）2代换（配凑）法已知形如 的表达式，求 的表达式。如（1）已知 求 的解析式（答： ） ；（2）若 ，则函数 =_（答： ） ；（3）若函数 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ，那么当 时，=_（答： ）这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即 的定义域应是 的值域。3方程的思想已知条是含有 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方程组。如（1）已知 ，求 的解析式（答： ） ；（2）已知 是奇函数， 是偶函数，且 + = ,则 =
10、 _（答： ） 。八反函数：1存在反函数的条是对于原函数值域中的任一个 值，都有唯一的 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有 有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数 在区间1, 2 上存在反函数的充要条是A、 B、 、 D、 （答：D）2求反函数的步骤：反求 ；互换 、 ；注明反函数的定义域（原函数的值域） 。注意函数 的反函数不是 ，而是 。如设 求 的反函数 （答： ） 3反函数的性质：反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。如单调递增函数 满足条 = x ，其中 0 ，若 的反函数 的定义域为 ，则 的定义域是_（答：4,7）函数 的图象
11、与其反函数 的图象关于直线 对称，注意函数 的图象与 的图象相同。如（1）已知函数 的图象过点(1,1), 那么 的反函数的图象一定经过点_（答：（1,3） ） ；（2）已知函数 ，若函数 与 的图象关于直线 对称，求 的值（答： ） ； 。如（1）已知函数 ，则方程 的解 _（答：1） ；（2）设函数 f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数 ，f (4)0，则 （答：2）互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知 是 上的增函数，点 在它的图象上， 是它的反函数，那么不等式 的解集为_（答：（2,8） ） ；设 的定义域为 A，值域为 B，则有 ， ，但 。九函数的奇偶
12、性。1具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数 ， 为奇函数，其中 ，则 的值是 （答：0） ；2确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数 的奇偶性_（答：奇函数） 。利用函数奇偶性定义的等价形式： 或 （ ） 。如判断 的奇偶性_（答：偶函数）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称。3函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反如果奇函数
13、有反函数，那么其反函数一定还是奇函数若 为偶函数，则 如若定义在 R 上的偶函数 在 上是减函数，且 =2，则不等式 的解集为_（答： ）若奇函数 定义域中含有 0，则必有 故 是 为奇函数的既不充分也不必要条。如若 为奇函数，则实数 _（答：1）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差） ”。如设 是定义域为 R 的任一函数， ， 。判断 与 的奇偶性； 若将函数 ，表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和，则 _（答： 为偶函数， 为奇函数； ）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”既奇又偶函数有无穷多个（ ，定义域是关于原点对称的任意一个数
14、集）十函数的单调性。1确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号） 、导数法（在区间 内，若总有 ，则 为增函数；反之，若 在区间 内为增函数，则 ，请注意两者的区别所在。如已知函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是_(答： ）) ；在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为 ，减区间为 如（1）若函数 在区间（，4 上是减函数，那么实数 的取值范围是_(答： ）) ；（2）已知函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围_（答： ） ；（3）若函数 的值域为 R，则实数 的取值范围是_(答：
15、且 ）) ；复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数 的单调递增区间是_(答：（ 1,2）) 。2特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数 在区间 上为减函数，求 的取值范围（答： ） ；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示 3你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）如已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ，求实数 的取值范围。 （答： ）十一常见的图象变换1函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位得到的。如设 的图像与 的图像关于直线 对称， 的图像由 的图像向右平移1 个单位得到，则 为_(答： )2函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位得到的。如（1）若 ，则函数 的最小值为_(答： 2)；（2）要得到 的图像，只需作 关于_轴对称的
